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VORLESUNGEN ÜBER REELLE FUNKTIONEN
VON
oc DR. CONSTANTIN CARATHEODORY
ORD. PROFESSOR AN DHR UNIVERSITÄT GÖTTINGEN
MIT 47 FIGUREN IM TEXT
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1918 LEIPZIG UND BERLIN VERLAG UND DRUCK VON B. 6. TEUBNER
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TO NEW YORK PUBLIL LiLAARY 4 \33A
ASTOR. L7 OR AND TILDEN F\.ı..DATIONS R 1925 L
SCHUTZFORMEL FÜR DIE VEREINIGTEN STAATEN VON AMERIKA O0OPYRIGHT 1918 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG.
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ALLE RECHTE, EINSOHLIESSLIOH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.
MEINEN FREUNDEN
ERHARD SCHMIDT UND
ERNST ZERMELO
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Vorwort.
Die Umwälzung, welche die Theorie der reellen Funktionen durch die Untersuchungen von H. Lebesgue erfahren hat, ist ein Prozeß, der heute in seinen Hauptzügen als abgeschlossen gelten kann. Ein Ver- such diese Theorie von Grund aus und systematisch aufzubauen scheint mir daher notwendig geworden zu sein; dies hat mich bewogen die Vor- lesung, die ich im Sommersemester 1914 an der Universität Göttingen gehalten habe, auszuarbeiten, und mit manchen Erweiterungen und Zu- sätzen versehen, der Öffentlichkeit vorzulegen.
Ich habe mich bemüht die Tatsachen, die zur Darstellung einer Theorie der reellen Funktionen notwendig sind, direkt aus den am An- fang des Buches angeführten Axiomen über reelle Zahlen ohne jede weitere Voraussetzung zu entwickeln, und in eine solche Reihenfolge zu bringen, daß alle Beweise möglichst aus ihrer natürlichen Quelle entspringen und daher zu Sätzen führen, die man mit großer Allgemein- heit aussprechen kann.
Das Fundament, auf dem die ganze Theorie der reellen Funktionen beruht, ist die Theorie der Punktmengen, diese unvergängliche Schöpfung Georg Cantors. In den Kapiteln, die diesem Gegenstande gewidmet sind, habe ich aber durchaus nicht den Grad der Vollständigkeit erstrebt, der in einem der Mengenlehre selbst gewidmeten Werke — von denen es vorzügliche in deutscher Sprache gibt — unerläßlich wäre, sondern mich begnügt, die Resultate aufzustellen, die in späteren Abschnitten wirklich benutzt werden oder die für das allgemeine Verständnis der Theorie unentbehrlich sind.
In einigen neueren ausländischen Lehrbüchern ist die Lebesguesche Theorie schon ziemlich ausführlich behandelt worden; sie erscheint aber dort meistens neben den älteren Integrationstheorien und ist dadurch ihres größten Vorzugs beraubt, der darin besteht, daß sie den kürzeren und bequemeren Weg darstellt, da wo die alte Fahrstraße oft unnötige Umwege macht. Deshalb habe ich in diesem Buche die Lebesguesche Definition des Inhalts und des Integrals als den primären Begriff behandelt um den sich alles übrige — insbesondere also auch die ältere MeßBbarkeits- und Integrationstheorie — ganz von selbst einordnet. Es
To NEW York PUBLIC LiLAARY 4 W33Ä
ASTOR. LTOXR AND TILDEN F\.L..DATIONS R 1925 L
SCHUTZFORMEL FÜR DIE VEREINIGTEN SYAATEN VON AMERIKA 0OPYRIGHT 1918 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG.
Trinied in Gerne
ALLE RECHTE, EINSOHLIESSLIOH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.
MEINEN FREUNDEN
ERHARD SCHMIDT UND
ERNST ZERMELO
g*
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Vorwort.
Die Umwälzung, welche die Theorie der reellen Funktionen durch die Untersuchungen von H. Lebesgue erfahren hat, ist ein Prozeß, der heute in seinen Hauptzügen als abgeschlossen gelten kann. Ein Ver- such diese Theorie von Grund aus und systematisch aufzubauen scheint mir daher notwendig geworden zu sein; dies hat mich bewogen die Vor- lesung, die ich im Sommersemester 1914 an der Universität Göttingen gehalten habe, auszuarbeiten, und mit manchen Erweiterungen und Zu- sätzen versehen, der Öffentlichkeit vorzulegen.
Ich habe mich bemüht die Tatsachen, die zur Darstellung einer Theorie der reellen Funktionen notwendig sind, direkt aus den am An- fang des Buches angeführten Axiomen über reelle Zahlen ohne jede weitere Voraussetzung zu entwickeln, und in eine solche Reihenfolge zu bringen, daß alle Beweise möglichst aus ihrer natürlichen Quelle entspringen und daher zu Sätzen führen, die man mit großer Allgemein- heit aussprechen kann.
Das Fundament, auf dem die ganze Theorie der reellen Funktionen beruht, ist die Theorie der Punktmengen, diese unvergängliche Schöpfung Georg Cantors. In den Kapiteln, die diesem Gegenstaride gewidmet sind, habe ich aber durchaus nicht den Grad der Vollständigkeit erstrebt, der in einem der Mengenlehre selbst gewidmeten Werke — von denen es vorzügliche in deutscher Sprache gibt — unerläßlich wäre, sondern mich begnügt, die Resultate aufzustellen, die in späteren Abschnitten wirklich benutzt werden oder die für das allgemeine Verständnis der Theorie unentbehrlich sind.
In einigen neueren ausländischen Lehrbüchern ist die Lebesguesche Theorie schon ziemlich ausführlich behandelt worden; sie erscheint aber dort meistens neben den älteren Integrationstheorien und ist dadurch ihres größten Vorzugs beraubt, der darin besteht, daß sie den kürzeren und bequemeren Weg darstellt, da wo die alte Fahrstraße oft unnötige Umwege macht. Deshalb habe ich in diesem Buche die Lebesguesche Definition des Inhalts und des Integrals als den primären Begriff behandelt um den sich alles übrige — insbesondere also auch die ältere Meßbarkeits- und Integrationstheorie — ganz von selbst einordnet. Es
VI Vorwort
liegt leider in der Natur einer solchen systematischen Darstellung, in der das neu erworbene mit dem älteren verschmolzen wird, daß die histo- rische Entwickelung unkenntlich wird. Dies drückt sich schon in den Bezeichnungen aus: so bin ich z. B. dazu geführt worden die Worte „Inhalt“ und „Integral“ für die Begriffe zu benutzen, die man bis jetzt „Lebesguesches Maß“ und „Lebesguesches Integral“ genannt hat.')
Die Werke, die ich am öftesten zu Rate gezogen habe, sind neben dem klassischen Cours d’Analyse von Camille Jordan, aus dem die meisten Mathematiker meiner Generation ihre Kenntnisse erworben haben, der Cours d’Analyse von Ch. J. de la Vallö&e Poussin, die Arbeiten von Baire, Hausdorff, Lindelöf und Young, und vor allem die große zusemmenfassende Abhandlung von Lebesgue in den Annales de l’Ecole Normale aus dem Jahre 1910.?) Leider ist mir das neue Buch von de la Vallee Poussin „Integrales de Lebesgue, Fonctions d’Ensemble, Classes de Baire“ (Paris, 1916), erst nachdem das vorliegende Werk schon gesetzt war zu Gesicht gekommen; ich hätte sonst manchen trefflichen Gedanken dieses Buches noch verwerten können.
Die im $ 541 gegebene Erweiterung des Definitionsbereichs stetiger Funktionen verdanke ich einer brieflichen Mitteilung von Herrn H. Bohr.
Für Mitarbeit bei der Korrektur bin ich einer großen Reihe von Freunden und Kollegen verpflichtet: Herr N. Kritikos, der meine Vor- lesung gehört hatte, hat das Manuskript mit großer Sorgfalt gelesen . und mir manchen guten Rat gegeben; die Beweise des $ 373 rühren z. B. größtenteils von ihm her. Außerdem sind die Korrekturen von den Herren W. Blaschke, D. Cauer, K. Knopp und A. Rosenthal ge- lesen worden. Den beiden letzten Herren verdanke’ ich ganz beson- ders viele durchgreifende Verbesserungen.
Eindlich möchte ich dem Verlage für die schöne Ausstattung dieses Buches ‚und für sein Eingehen auf zahlreiche Wünsche meinen Dank hier aussprechen.
Göttingen, Dezember 1917. C. Carathöodory.
1) Ebenso mußte ich den Ausdruck „beschränkte Schwankung*, der durch Study in die Literatur eingeführt und seitdem üblich ist, durch den älteren „be- schränkte Variation“ wieder ersetzen, da ich das Wort „Schwankung“ in einem andern Sinne schon verbraucht hatte, für den es kein zweites passendes Wort zu geben scheint.
2) Vgl. für die genauen Zitate das Verzeichnis auf S. 689.
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Inhalt.
Einleitung.
Anordnungs- und Verknüpfungsaxiome . . . . . 2 22220. Zahlenmengen. Axiome der natürlichen Zahlen. . .. .....
. -Das Stetigkeitsaxiom . . . 2: 2 22 nn rn ren
Absolute Beträge. . . 2. 2: 2: I I I rn ren Das Zuordnungsaxiom. . . 2: 2 on en
Kapitel I. Über Punktmengen.
Definitionen . 2.2: 2 Co ern ee ar Die Grundoperationen an Punktmengen . . .. 2.2. 2222 .. Endliche und unendliche Punktmengen. Abzählbarkeit .... . Sätze über Intervalle . .. 2... 2 2 rennen.
Vergleich einer Punktmenge mit dem Gesamtraum . . .....
Klassifizierung von Punktmengen . ... 2... 2.222 .. Überdeckungssätze . . 22:2 22 Cr Sätze über Häufungs- und Kondensationspunkte. . . ...... Häufungspunkte von Durchschnitts- und Vereinigungsmengen. . . Relativbegrifie . . 2.2.2: Con Überall dichte und nirgends dichte Punktmengen . . . . .. . . Sätze über gewisse Durchschnittsmengen . . . . . 2.222...
Kapitel I. Der Grenzbegriff.
Der allgemeine Funktionsbegriff . . . 2. 2: 22 0 nr nn na Der obere und der untere Limes. . . 2. 2: 2: 2: 2 2 re. Konvergente Zahlenfolgen. . . . .. 2222. . a a tr Er Summen von positiven Zahlen . . ... 2. 2 2 2 rn nn ne Konvergente Reihen . . . 2: 2 22 En rn rennen Konvergente Punktmengen. . . .». . . 2 222.202... Limes superior und inferior von Folgen von Punktmengen . . . .
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8 127. $ 134. 8 139. 8 148.
$ 147.
$ 162. 8 167. $ 111. & 177.
8 185. $ 189. 8 19. 8 198. 8 200. $ 204. & 218. 8 220, $ 226.
8 228. $ 238. $ 280. 8 258. 8 269.
& 279. 8 288.
8 298. 8.293. $ 298. 8 304, & 812. 8 316. $ 321. $ 322,
326.
Inhalt
m mn m m mn
Seite Halbstetigkeits- und Stetigkeitspunkte . . . . 2 2 2 2 20. . 127 Halbstetige und stetige Funktionen. . . ». 2 2 2 2 2 2 2 2 2 en 136 Schwankung. Punktiert- und totalunstetige Funktionen . . . 140 Funktionen einer Veränderlichen. . . . 2.2 2:2 2 2 220. 144 Monotone Funktionen... 2:2 2 Em ren 149 Erzeugung stetiger Funktionen. . . . 2 2 2 2 2 rn nee. 167 Konvergente Funktionenfolgen . . . . 2: : 2 2 2 2 2 nn nn 170 Gleichmäßige Konvergenz 3. . 2: 2: 2 2 N m ern. 173 Funktionen von beschränkter Variation. . 2 2 2 22220 180
Kapitel IV. Entfernung und Zusammenhang. Entfernung von Punkten ... 2... 2:2 Corn 191 Entfernung von Punktmengen . . . . 2: 2: 2 m Hr 2. 196 Dürchmenser:...:2 5. 2.2 5 u. a an a ee ER a el 201 Gleichmäßige Stetigkeit.. . . - : 2: CH Kr Ener. 203 Stetige Abbildung . . » 2: mn nn nn 205 Kontinuen . . . 2.2.2 220.0. BE a A ar a De a ah de A 208 Begrenzung von Ponktminngen; EEE EEE 216 Gebiete; 4 =. am han ale ne ee En ee 222 Anwendung auf stetige Funktionen . . 2... 2: 2 2 e 220. 227 Kapitel V. Inhalt und Meßbarkeit. Äußerer Inhalt . 2. Con en 229 Maßfunktionen: ; 4. u.a se re 237 Mebbarkeit.. ; :-..%. 8%... 20.8 2a a: wre ie er 246 Die regulären Maßfunktionen . . . 2 2 22 2er. 258 Anwendung der Theorie der Meßbarkeit auf den Inhalt von Punkt- MONKEN: :. 2.002 ee ee ee 274 Quadrierbare Punktmengen. Räumliche Zellennetze. .. .... 289 Überdeckungssatz von Vitali. . . 2. 2: 22 2 2 rennen 299 Kapitel VI. Lineare Gebilde.
Vektoren des g-dimensionalen Raumes . . .. 2. 22.2000. 507 Lineare Vektorgebilde. . . . .. > 222er nenne 309 Orthogonalitätseigenschaften . . . . .».- 2222 2 een 813 Determinanten ... . 2»: 2 2 2 22 0 2 2 0 0 0 nn ... 8318 Anwendung der Determinanten auf die linearen Vektorgebilde . . 326 Lineare Gleichungen . . . . 2». : 22222 ne dc 329 Lineare Punktgebilde . . . » . 2 2 N rn. 2 nenne 533 Lineare Punkttransformationen. . . . : 2: 2 2 2 20 nenn 335 Transformation des Inhalts von Punktmengen. . ........ 34
8 330. 8'332. 8 335. $ 338.
8 342. 8 345.
$ 366.
8 359. $ 362. $ 367.
8 374. 8 379. $ 381. & 384, $ 388. 8 403. s 410.
x 414.
Inhalt IX
Orthogonale Transformationen . . . 2: 2 2 2 nen nennen su Punktmengen von nicht meßbarem Inhalt. . . .. 2: 2.2 2.2... 349 Stetige meßbare Abbildungen . . . 2.22 2: on m m rn rn 354 Kritik der Theorie der Maßfunktionen . . . . 2 2 2 2 2 2. 359
Kapitel VII. Meßbare Funktionen. Darstellung von Funktionen durch Folgen von Punktmengen . . . 369
Meßbare Funktionen . 2.2: Cm non. 22. 374 Endlichwertige Funktionen . . 2... m Emmen 385 Äquivalente Funktionen . 2 2 2 2 Co oo. 20.889 Die Klassen von Baire . 2... Lo nr rn 393 Anwendung des Klassenbegriffs auf meßbare Funktionen. ... . 401
Kapitel VIH. Das bestimmte Integral.
Zylindermengen, 2... u... 5 wa 3er. ea ar ee 414 Ördinatenmengen . . . : 2: 2 2 rer. era Bet ALS Das bestimmte Integral von nicht negativen Funktionen. . . . . 420 Meßbarkeit und Summierbarkeit . . . . . 2.2.2... Er tee, 728 Summierbare Funktionen beliebigen Vorzeichens . . .. ... 427 Abschätzung und Approximation von Integralen. . x. ..... 445 Darbouxsche Summen. . . 2... 222000. een. 453 Riemannsche Integrale . . .. 2... En nneen 459
Kapitel IX. Das unbestimmte Integral und die additiven totalstetigen
5 424. $ 430. $ 435. 8 443. 8 450. 8 468.
5 468. 8 461. $ 465. 8 472.
8 483. 8 496. s 500. 8 511. 8 514.
Carathösodory, Reelle Funktionen.
Mengenfunktionen. Das unbestimmte Integral. . . . . 2 2 2 2 2 2 nn nn. 469 Additive totalstetige Mengenfunktionen. .. .. 2.222... 475 Die mittleren Derivierten . ... 2.2.2... dr Keeer agne .... 480 Die verallgemeinerten Derivierten . . . . . 2.2 2220000. 492 Die Limesfunktionen der Derivierten . . . . 2... 222.22. . : 499 Die additiven totalstetigen Intervallfunktionen. . . . .. 22... 502
Kapitel X. Funktionen einer Veränderlichen.
Die 4-Variabion. <a 23 2 1 a Sa Er Deu 510 Die Derivierten einer Funktion . . . .. 2.222. eee.. 515 Die Regeln der Differentialrechnung . . .».. 2.222... 518 Die Derivierten von stetigen Funktionen als Funktionen der unab-
hängigen Veränderlichen. ... 2.2 2222... . . 527 Einfache Integrale und totalstetige Funktionen . ........ 542 Die Substitutionstheorie der einfachen Integrale. . ....... 556 Monotone Funktionen...» 2.2.22... a Be 563 Meßbare Abbildungen. . .. . 2: 222 2 rennen 581 Funktionen von beschränkter Variation... . 2: 22200. 584
X Inhalt | . Seite $ 519. Die nirgends differentiierbare Funktion von Weierstraß . . .. . 690 $ 523. Das Umkehrproblem der Differentialrechnung.. . . . . » 2... 694 8 528. Berechnung von einfachen Integralen. . . . 2 2 2 2 22 00. 600 $ 532. Uneigentliche Integrale . . . . 2:2: 2 CE m rennen. 606 $ 537. Der zweite Mittelwertsatz der Integrelrechnung . ........ 612 $ 541. Erweiterung des Definitionsbereichs stetiger Funktionen . . . . . 617 Kapitel XI. Funktionen von mehreren Veränderlichen. 8 544. Der Satz von Fubini . . 2. 2 2 2: vr m m nn ne. 2.6231 86548. Die wiederholten und die mehrfachen Integrale. . . ...... 628 $ 5657. Partielle Ableitungen. Differentiierbarkeit . . . . . 2 2 2 2.0. 641 $ 564. Die Vertauschung der Reihenfolge der Differentiation . .... . 650 8 565. Totalstetige Funktionen von zwei Veränderlichen . . ...... 651 8 572. Differentiation unter dom Integralzeichen. . . . . . 2 2 22.2. 661 8 576. Differentialgleichungen . . . 2: 22mm ern. .. 668 Literatur . . 2. 22220. Be ee ae Are ai SE are, Ya ie da 689 Verzeichnis der Beispiele . . . 2.2: CK Eur rer. 698
OBIBEBD. u an ne a A a ee ee Br ee ee ter 695
Einleitung.
1. Die Theorie der reellen Funktionen beruht auf der Theo- rie der reellen Zahlen. Wenn man diese genetisch aufbauen will, » muß man nacheinander die positiven ganzen Zahlen, die negativen ganzen Zahlen, die rationalen und endlich die irrationalen Zahlen be- trachten und ihre Eigenschaften untersuchen.*)
Für unsere Zwecke genügt es aber, wenn wir zeigen, daß man unter den Eigenschaften der Zahlen einige hervorheben kann, aus denen dann de übrigen folgen. Diese ausgezeichneten Eigenschaften wollen wir ‚Axiome“ nennen. Die Aufzählung der Axiome soll nun durchaus nicht ane Theorie’ der reellen Zahlen ersetzen (die mindestens eine Unter- schung über die Widerspruchslosigkeit und die Unabhängigkeit der Axiome und noch manches andere enthalten müßte), aber wir gewinnen durch eine solche Aufzählung den festen Grund, auf dem wir alles Übrige ohne weitere Voraussetzung aufbauen werden.
Anordnungs- und Verknüpfungsaxiome.
2. Die Axiome der Anordnung lauten:
I1. Die Zahlen können angeordnet werden, d.h. wenn a ınd 5 zwei Zahlen bedeuten, so muß von den drei Möglich- keiten | a=b, a>b, b>a stets eine und nur eine erfüllt sein.
12. Es gibt mindestens zwei Zahlen, die nicht einander gleich sind.
13. Aus der Voraussetzung a>b und b>c folgt stetsa>.c.
Die Gleichung a = b soll dabei bedeuten, daß die beiden Zeichen a und b dieselbe Zahl darstellen. Ist also a=b, so ist auch stets b = a, und aus den beiden Gleichungen a =b und b=c folgt stets a= c. Ferner
®) Siehe z.B. O.Hölder, Die Arithmetik in strenger Begründung. Programm- abhandl. d. philos. Fakult. zu "Leipzig (in Kommission bei Teubner, Leipzig 1914), sowie E. Pringsheim, Vorlesungen über Zahlenlehre, Erste Abteilung (Teubner, Leipzig 1916). Carath&odory, Reelle Funktionen. 1
2 Einleitung 83 folgt aus a=b und b>c, oder aus a>b und b=c, daß a>e ist. All-
gemein kann man, wenn a = b ist, in allen Relationen zwischen Zahlen das Zeichen a durch das Zeichen b ersetzen.
Die Relation a > b wird „a größer als b“ ausgesprochen; zur Be- quemlichkeit der Darstellung führt man noch die Zeichen
<, 4,23, Ss
ein, die folgende Bedeutung haben:
a<-b ist eine andere Schreibweise für b> a und wird „a kleiner als b“ ausgesprochen.
a=>b: „a ungleich b“ bedeutet, daB entweder a>b oder a<b, aber nicht a = b ist. |
a> b: „a größer oder gleich b“ oder auch „a nicht kleiner als b“ bedeutet, daß entweder a > b oder a = b, aber nicht a < b ist.
a<b: „a kleiner oder gleich b“ oder auch „a nicht größer als b“ bedeutet, daß entweder a < b oder a = b, aber nicht a > ist.
3. Die Axiome der Addition lauten:
II1. Sind a und b beliebig gegebene Zahlen, so gibt es eine eindeutig bestimmte Zahlc, die man die Summe von a und b nennt; man schreibt
c=a-+b. | 112. DieSummenoperation besitzt diekommutativeEigen- schaft ER N
II 3. Die Summenoperation besitzt die assoziative Eigen-
schaft a+(b+o)=(a+b)+tec. II 4 Wenna>a’ist, sista+b>a+b.
Aus 114 folgt erstens unmittelbar, daß, wenn a <a’ ist, die Re- lation a +b<a’+b gilt, und zweitens, daß wenn a +5 > oder = oder <a’+b ist, die Zahl a bzw. > oder = oder <a’ ist. Der Beweis dieser letzten Behauptung ist in allen Fällen übereinstimmend. Setzen wir z. B. voraus a +5>a’+b, und nehmen wir an, es wäre nicht a >a/, dann kann nur a >a gelten, woraus mit Berücksichtigung von II 4 folgt: a +b >a + b, was aber der Voraussetzung widerspricht.
Es ist selbstverständlich, daß man zwei Gleichungen gliedweise addieren kann: ausa=a undb=b folgt a +b=a’+b.
Aber man kann auch zwei Ungleichheitena>b unda’>b’ glioedweise addieren. Denn es ist nach II4
a+a>b+a und A +b>b-+b,
g4—7 Anordnungs- und Verknüpfungsaxiome 3
ferner nach Il 2 b+ta=a+b und b’+b=-b+b, also nach 13 a+ta>b+b.
4. Das Axiom der Subtraktion lautet:
II. Sind a und b irgend welche Zahlen, so gibt es stets mindestens eine Zahl c, so dadßBa=b-+c ist. Die Zahl c wird die Differenz von a und b genannt.
Mit Hilfe der früheren Sätze kann man beweisen, daß es nur eine Zahl c geben kann, welche die Gleichung a =b-+c befriedigt. Aus a=b+cunda=b+c folgt nämlich b +c=b-+ c und hieraus nach dem vorigen Paragraphen c = c‘.
5. Wir führen jetzt die Null ein; es gibt nach IH eine Zahl £, so daß für ein gegebenes a die Gleichung a=ct+a
besteht. Diese Zahl & ist von a unabhängig. Denn aus b=$&'’+b folgt zunächst b+a=(E+b)+a
und hieraus nach den Axiomen der Addition a+b=(E+a)+b.
Es ist daher a = &’+ a und somit wegen der Eindeutigkeit der Sub- traktion &= &’. Die so definierte Zahl nennen wir Null und schrei- ben &=(0.
6. Jetzt kann man positive und negative Zahlen trennen. Eine Zahl p heißt positiv, wenn p > 0 ist, und eine Zahl » heißt negativ, wenn 2 < 0 ist. Jede von Null verschiedene Zahl ist nach I1 entweder positiv oder negativ.
Satz 1. Ist p eine positive Zahl, so it atp > a.
Es ist nach Voraussetzung 9 > 0; also nach 14 ist a +p>a+0=a. Analog gilt für eine negative Zahl » die Gleichung: a +n <a.
Satz 2. Ist a>b und setzt mana=b+c,soiste>Q. |
In der Tat würde aus c<O folgen b+c<sb, was der Voraus- setzung b-+ c= a > b widerspricht.
7. Zwei Zahlen a und a’ heißen entgegengesetzt, wenn ihre Summe Null ist: a+a’=0. Ist a= (0, so ist auch a’= 0, denn dies 1*
4 Einleitung 88 folgt aus a+a’=0=a nach der Definition der Null. Ist dagegen @«>0,so muß a’<O sein. Denn wäre a’>0, so wäre nach dem vorigen Paragraphen a +a’>a>0, und wäre a’=(, so wäre a+a'=a>(, was beides der Definition entgegengesetzter Zahlen widerspricht.
Das Axiom 1 2 verbunden mit diesem letzten Resultat zeigt uns, daß es sowohl positive, wie auch negative Zahlen gibt. |
Ist a gegeben, so ist die zu a entgegengesetzte Zahl @’ durch die Gleichung a + a’= O0 eindeutig bestimmt. Man führt jetzt das Minus- zeichen ein, indem man schreibt a@ = —.a, wenn a und a’ entgegen- gesetzte Zahlen sind. Wegen der Symmetrie der Definition solcher Zahlen muß dann a=— a’ sein und alo a = — (—a).
It a=c+b,so iste=a-+ (—b) oderkurzc=a — b. Denn aus a=c+bfolgta+(-b)=c+b+(—-b), aloa—b=c+0=c.
8. Die Axiome der Multiplikation lauten:
IV1. Zu zwei Zahlen a und 5b gibt es eine eindeutig be-
stimmte Zahl c, die das Produkt beider heißt. Man schreibt c=a-.b, oderauchc=ab.
Über die Multiplikation gelten die Gesetze:
IV2. Das kommutative Gesetz: a-b=b-a.
IV3. Das assoziative Gesetz: a-(b-c)= (a-b).c.
IV4. Das distributive Gesetz: a-(b+c)=a-b-+.a:«c.
IV5. Itp, >Oundp,>0,soistauch 9,9, >.
Es seien a und 5 beliebige Zahlen; nach dem Früheren haben wir b=b-+0, also et: folglich nach IV4: a-b=a-b-+.a-0. Nach der Definition der Null ist daher a-O0=0. Das liefert uns den
Satz 3. Das Produkt einer beliebigen Zahl mit der Null ist gleich Null.
Sind a und a’ entgegengesetzt und b eine beliebige Zahl, so folgt aus dem letzten Satze, wegen a + a’= (0), mit Hilfe des distributiven
ae (a+a)b=a-b+a” b=0 oder (—a)-b=— (a-b).
Aus der letzten Formel bekommen wir ferner -a)-(-8)= -[a-(-d]= -[-(@d)]= a:b. Die letzten „Vorzeichenregeln“ zusammen mit IV 5 liefern den
Satz 4. Das Produkt einer positiven und einer negativen Zahl ist negativ; das Produkt von zwei negativen Zahlen ist positiv.
| Anordnungs- und Verknüpfungsaxiome 5
Mus folgt insbesondere der . Ball. Das Produkt ab von zwei Zahlen a und b verschwindet dann a nu nn, wenn eine der beiden Zahlen gleich Null ist.
Dei@i für jeden der anderen möglichen Fälle ist das Produkt, wie ne sahaı entweder positiv oder negativ. Mi Sat6. Ist p eine positive Zahl, und ist a>b, so ist auch ap > bp.
sianegative Zahl, und ist a > b, so ist an <- bn.
Nadel Voraussetzung kann man schreiben: a=b-p,, wo p, positiv ist
ap=bp+pp, >bp, an=bn-+pn<bn.
9. Ias Axıom der Division lautet:
V.Bt b+F0 unda eine beliebige Zahl, so gibt es stets mindest##ns eine Zahl c, so daßBa=c-bist. Man schreibt dann
= - oderc=a:b. Die Zahlc heißt der Quotient vona durchb.
Die Bedingung b +0 ist natürlich notwendig; ist nämlich b = 0, so hat di® Gleichung a = cb nur dann eine Lösung, wenn a = 0 ist, und im diksem Falle ist c vollständig willkürlich.
Ist der b=+ 0, so läßt sich zeigen, daß c durch unsere Forderung eindentigibestimmt ist. Denn angenommen, es gäbe noch eine Zahl c', so daß za gleicher Zeit cbo=cbundc-+.c’ stattfinden, so könnte man die Gleichung aufstellen e’=c+%, wok +0 sein muß. Daraus würde aber folgen
cb=(-+kb=chb+kb=+cb,
was der Yoraussetzung widerspricht.
10. Wir führen jetzt die Eins ein. Es gibt nach V für jedes a+0 eime Zahlle, so daßa = ea ist. Diese Zahl ist von a unabhängig. Denn ist 5A und b=e’b, so ist auch ab=as’b. Da aber nach dem vorigen #esultat die Division eindeutig ist, so mußa= ae’ und daher &@ = ealsein; eine zweite Anwendung desselben Schlusses liefert dann die zu beweisende Gleichung &=e’. Die so bestimmte Zahl & drücken wir durch das Zeichen 1 aus.
Ist irgend eine positive Zahl, so folgt aus 9-1=p> 0, mit Hilfe der Sätz@über das Vorzeichen rines Produktes, daß 1 weder Null noch negativ in kann; wir haben also: &
1>0.
6 Einleitung 8 11—13
Zahlenmengen. Axiome der natürlichen Zahlen.
11. Charakteristisch für unsere heutige Mathematik ist die N: zeitige Betrachtung von Gesamtheiten von Zahlen, die man Zahlen. mengen nennt. Die einzelnen Zahlen a, die zu der betrachteten G4. samtheit {a} gehören, nennt man die Elemente der Menge. Außerd m) betrachtet man auch sogenannte „leere“ Mengen, d.h. solche, die kelin einziges Element besitzen. Zwei verschiedene Elemente einer Menge stellen stets zwei verschiedene Zahlen dar.
Haben zwei Mengen {a} und {b} die Eigenschaft, daB jedes Ele- ment 5 von {b} zugleich auch Element von {a} ist, so sagt man, daß die Menge |b} eine Teilmenge von {a} ist. Hiernach ist jede Menge eine Teilmenge von sich selbst. Man setzt außerdem noch fest, daß die leeren Mengen Teilmengen von jeder beliebigen Zahlenmenge sind. Ist (b} eine Teilmenge von {a}, gibt es aber gewisse Elemente von {a}, die nicht in {b} enthalten sind, so sagt man, daß (b} eine echte Teil- menge von {a} ist.
12. Die Axiome für die natürlichen Zahlen lauten:
VIl. Die Zahl 1 ist eine natürliche Zahl, und (» + 1) soll ebenfalls eine natürliche Zahl sein, sobald n eine solche ist.
VI12. Jede Teilmenge von natürlichen Zahlen, welche die Zahl 1 und mit der Zahl k immer auch (k+1) enthält, ist mit der Gesamtmenge der natürlichen Zahlen identisch.
Die Menge der natürlichen Zahlen nennt man auch die natürliche Zahlenreihe und bezeichnet sie folgendermaßen:
1,2, 9,405
hierbei it 2= (141), 3=(2+1) usf. Es sein eine natürliche Zahl; die Gesamtheit der natürlichen Zah-
len k, die der Bedingung k<n
genügen, ist eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlenreihe, denn sie enthält nicht die natürliche Zahl (n + 1). Man nennt diese Teilmenge den Abschnitt der natürlichen Zahlenreihe an der Zahl » und bezeichnet sie durch das Symbol:
1,2,...,% 13. Das Axiom VI 2 ist einem Satz gleichbedeutend, den man das
Prinzip der vollständigen Induktion oder auch den Schluß von n auf (» + 1) nennt und folgendermaßen aussprechen kann:
g 14 Zahlenmengen. Axiome der natürlichen Zahlen 7
Satz 1. Ist B(k) irgendeine Behauptung, die von einer Zahl k ab- hängt und a) für k= 1 besteht, b) stets mit k auch für (k +1) besteht, so ist die Behauptung B(k) ausnahmslos für alle natürlichen Zahlen richtig. In der Tat enthält die Teilmenge {»} der natürlichen Zahlenreihe, für welche B(k) richtig ist, sowohl die Zahl 1 als auch die Zahl (k+1), sobald sie die natürliche Zahl % enthält. Man kann sogar einen etwas allgemeineren Satz derselben Art be- weisen. | Satz 2. Ist B(k) ürgendeine Behauptung, die von einer Zahl k ab- hängt und a) für k=1 besteht, b) immer mit k auch für (k +1) besteht, wenn k eine Zahl des Ab- schnitts der natürlichen Zahlenreihe an der Zahl n bedeutet, so ist B(k) für alle Zahlen des Abschnitts der natürlichen Zahlenreihe an der Zahl (n+1), also auch insbesondere B(n + 1), richtig.
Es sei {q} die Teilmenge der natürlichen Zahlen, für welche ent- weder ®B(g) besteht, oderg>n ist. Diese Menge enthält wegen a) die Zahl 1 und wegen b) enthält sie stets mit g auch (9-+ 11). Hieraus folgt nach VI 2, daß für jede natürliche Zahl k entweder B(k) oder k>n bestehen muß. Die Behauptung ®B(k) ist also für alle Zahlen des Ab- schnitts k<n richtig, und da ®(n) richtig ist, ist auch B(n + 1) richtig.
14. Wir leiten jetzt einige der Haupteigenschaften der natürlichen . Zahlen ab. |
Satz 3. Alle natürlichen Zahlen sind positiv; die Zahl Eins ıst die kleinste unter ihnen.
In der Tat ist die Relation k>1 fürk=1 richtig; ist diese Re- lation ferner für k= n erfüllt, d.h. ist n > 1, so ist (n+1)>1. Nach VI2 sehen wir also, daß jede natürliche Zahl > 1 und daher positiv ist. Ferner muß aber auch jede von Eins verschiedene natürliche Zahl >1 sein.
Satz 4. Sind a und b natürliche Zahlen und a>b, so ist die Diffe- renz (a—b) ebenfalls eine natürliche Zahl, und man kann schreiben a=b-+n, wo n eine natürliche Zahl bedeutet.
Ist k= 1, so ist (k— 1) = 0; ist (k— 1) entweder gleich Null oder gleich einer natürlichen Zahl, so ist (&+D)—1)=((k—-1)+]) immer gleich einer natürlichen Zahl. Nach dem Satz 1 ist also jede Zahl von
8 Einleitung 8 15
der Form (k—1), wo k eine natürliche Zahl bedeutet, entweder gleich Null oder gleich einer natürlichen Zahl. Hieraus folgt aber die Richtig- keit unseres Satzes für b= 1 und für jedes beliebige «a >b; denn es ist dann (a—b)= (a — 1), und diese letzte Zahl ist wegen der Be- dingung a > b von Null verschieden.
Angenommen der Satz wäre bewiesen für b= k und für jedes be- liebige a > b, so wird nach dem Prinzip der vollständigen Induktion unser Satz allgemein bewiesen sein, wenn wir zeigen, daß er auch für b=%k-+1 und für jedes beliebige a > 5 richtig ist. Es sei also a>k+1; dann ist erstens (a—1)>%>1 und folglich nach dem Früheren eine natürliche Zahl. Nach Voraussetzung ist nun (a—1)=k+n, won eine natürliche Zahl bedeutet, und daher a= (k+1)+n=b-+n, was wir beweisen wollten.
Ganz ähnlich zeigt man, daß die Summe und das Produkt von zwei natürlichen Zahlen wieder natürliche Zahlen sind.
15. Wir beweisen jetzt den wichtigen Satz:
Satz 5. Jede Menge {a} von natürlichen Zahlen, die nicht leer ist, besitzt ein kleinstes Element, d.h. es gibt mindestens ein Element a, von der Eigenschaft, daß jedes beliebige Element a > a, ist.
Wir bezeichnen mit a’ irgendein Element von {a}; ein solches muß nach Voraussetzung immer existieren. Um nun den Satz zu be- weisen, bemerken wir, daß, wenn die Zahl Eins Element von {a} ist, unsere Menge ein kleinstes Element besitzt, und daß dann unsere Be- hauptung richtig ist. Ist aber 1 nicht in {@} enthalten, so ist die Zahl 1 kleiner als jedes Element von {a}. Wäre nun für jede natürliche Zahl %, die kleiner als jedes Element von {a} ist, diese Eigenschaft auf (k+1) übertragbar, so müßte nach VI2 jede natürliche Zahl, also auch a’, kleiner sein als jedes Element von {a}, was einen Widerspruch enthält.
Es gibt also notwendig eine natürliche Zahl k, die kleiner als jedes Element von {a} ist, so daß die natürliche Zahl (k +1) diese Eigen- schaft nicht besitzt. Oder anders ausgedrückt, mindestens ein Element a, von {a} ist <(k+1). Da.a, eine natürliche Zahl > % ist, so ist nach Satz 4
w„=krn.
Aus a,<k+ 1 folgt dannk+n<k+1 und schließlich (Satz 3), daß n=1odera,=k-+1 sein muß. Für jedes andere Element a von {a} gilt aber ebenfalls die Darstellung a=k-+n und folglich ist
nv<a,
8 16 Zahlenmengen. Axiome der natürlichen Zahlen 9
d.h. die Zahlenmenge {a} besitzt ein kleinstes Element, wie wir be- weisen wollten.
16. Das Prinzip der vollständigen Induktion erlaubt auch den An- zahlbegriff, d.h. die Kardinalzahlen mit Hilfe unserer Axiome zu erklären.
Definition. Von einer beliebigen Menge*) sagt man, daß sie nur aus endlich vielen Elementen besteht, wenn man ihre Ele- mente eineindeutig den Zahlen irgend eines Abschnittesk<n der natürlichen Zahlenreihe zuordnen kann, oder, wie wir kurz sagen wollen, wenn man die Menge auf den Abschnitt eineindeutig abbilden kann.
Gelingt es nun zu zeigen, daß man jede Menge von endlich vielen Elementen nur auf einen einzigen Abschnitt k<n der natürlichen Zahlenreihe eineindeutig abbilden kann, so ist die Zahl » charakteri- stisch für unsere Menge, und man kann von einer Anzahl von Ele- menten sprechen.
Enthält die Menge ein einziges Element, so kann man sie nur auf den Abschnitt k < 1 der natürlichen Zahlenreihe eineindeutig abbilden.
Es sei nun n eine natürliche Zahl von der Eigenschaft, daß keine Menge, die auf den Abschnitt k<n eineindeutig abgebildet werden kann, auch auf einen anderen Abschnitt k<n’ abbildbar ist, wobei n’#n ist. Wir zeigen jetzt, daß (» +1) dieselbe Eigenschaft besitzt, und entneh- men dann aus dem Prinzip der vollständigen Induktion, daß diese Eigen- schaft, wie wir beweisen wollten, für jede natürliche Zahl gilt.
Es sei also {a} eine Menge von endlich vielen Elementen, die ein- eindeutig auf die Abschnittek <n +1 undk<N +1 der natürlichen Zahlenreihe abgebildet werden kann; es ist zu zeigen, daß n= N ist. Es sei a’ dasjenige Element der Menge, das bei der ersten Abbildung der Zahl (n-+ 1) entspricht, a” dasjenige Element, das bei der zweiten Abbildung der Zahl (N -+1) entspricht.
Wir bezeichnen mit {a} —a', {a}—a” und {a}—a’— a” die von a’, von a” und vona’ und a” verschiedenen Elemente von |a}.**) Die Menge {a} — a” ist auf den Abschnitt k < N abgebildet; man kann aber auch, indem man die Elemente von {a} — a’— a” sich selbst ent-
*, Die obige Definition kann man außer auf Zahlenmengen auch auf all- gemeinere Mengen, z.B. auf die weiter unten definierten Punktmengen, anwenden.
“), Im Falle, daß die Zeichen a’ und a” zufällig dasselbe Element be- zeichnen sollten, stellen natürlich die Symbole {a} —a’, {a} — a” und {a} — a’— a” dieselbe Zahlenmenge dar.
10 Einleitung 8 17. 18
sprechen läßt und a” auf a’ abbildet, die Elemente von (a}— a” und {a} — a’ eineindeutig aufeinander abbilden und folglich die erste dieser Mengen ebenso wie die zweite auf den Abschnitt k <» beziehen. Hier- aus folgt aber nach Voraussetzung, daß n = N sein muß, was zu be- weisen war.
Betrachtet man die Zahlen eines beliebigen Abschnittes k<n der natürlichen Zahlenreihe als Elemente einer Menge, so sieht man, daß es Mengen von endlich vielen Elementen gibt, deren Anzahl n ist.
Die Abbildung einer Zahlenmenge von endlich vielen Elementen auf den Abschnitt k <» der natürlichen Zahlenreihe kann man dadurch zum Ausdruck bringen, daß man die Elemente der Menge mit Indizes versieht, und sich einer der Bezeichnungen
Q,; As, „..yg A,
oder a, (k=1,2,...,n) bedient.
17. Satz 6. Eine Zahlenmenge a,, Q,, ...., a, von endlich vielen Ele- menten enthält ein größtes und ein kleinstes Element.
Jeder Zahl a, unserer Zahlenmenge ordnen wir eine Zahl b, fol- gendermaßen zu: es soll 5,=a, sein, und wenn %k eine Zahl des Ab- schnitts k<(n— 1) der natürlichen Zahlenreihe bedeutet, so soll b,, , gleich der größeren unter den beiden Zahlen b, und a,,, sein. Nach dem Satze2 des $13 sind dann die, für alle Zahlen des Abschnitts < n definiert; ferner ist nach demselben Satze jedes b, also insbesondere b, gleich einem unter den Elementen a,,@,,...,qa,, und es gilt für jedes k <n die Beziehung
a,<b,<b
= "nn?
womit der erste Teil des Satzes bewiesen ist. Ebenso beweist man, daB die gegebene Zahlenmenge ein kleinstes Element besitzt.
Das Stetigkeitsaxiom.
18. Eine Zahlenmenge, die nicht aus endlich vielen Elementen be- steht, braucht kein größtes oder kleinstes Element zu besitzen. Die Menge der natürlichen Zahlen besitzt z. B. kein größtes Element, denn man kann jeder natürlichen Zabl » eine größere, nämlich (n+1) zu- ordnen, die auch in der betrachteten Menge enthalten ist.
Dagegen sollen die reellen Zahlen noch folgendem letzten Axiom genügen:
8 18 Das Stetigkeitsaxiom 11
VD. Ist {a} eine beliebige Zahlenmenge, und gibt es Zah- len A, die größer oder gleich allen Elementen a von {a} sind, so besitzt die Zahlenmenge {A} aller dieser Zahlen A ein kleinstes Element G@, das die obere Grenze von {a} genannt wird.
Mit anderen Worten: entweder gibt es überhaupt keine Zahl, die größer oder gleich allen Elementen von {a} ist, oder es gibt eine Zahl @, die nicht nur diese Eigenschaft besitzt, sondern noch eine zweite, nän- lich, daß man jeder Zahl EG
ein Element a’ von {a} zuordnen kann, das größer als @’ ist:
G’<a”. Die Möglichkeit, daß es überhaupt keine Zahl A gibt, die größer oder gleich allen Elementen von {a} ist, liegt z. B. in folgendem Falle vor: . Es sei & eine beliebige positive (also von Null verschiedene) Zahl; wir betrachten die Zahlenmenge {ke}, in der die Zahl k eine beliebige natür- liche Zahl bedeutet. Gibt es dann Zahlen, die > sämtlichen ke sind, so sei @ die obere Grenze von {ke}. Dann ist erstens für jede natür- liche Zahl k (1) ke<o, zweitens aber gibt es eine natürliche Zahl k,, so daß ist, weil (o— &) kleiner als die obere Grenze o ist.
Nun folgt aber aus (2) (Ro En l)s >00,
d.h. eine Ungleichheit, die der Bedingung (1) widerspricht.
Wir führen jetzt folgende Definition ein: Kann man jeder be- liebigen Zahl « ein Element der Zahlenmenge {a} zuordnen, das größer ist als «, so sagt man, die Zahlenmenge {a} hat die obere Grenze + oo (gelesen: „plus unendlich“).
Das Stetigkeitsaxiom kann man dann kurz aussprechen: Jede Zahlenmenge hat entweder eine endliche obere Grenze oder die obere Grenze + oo.
Ferner liefert das soeben bewiesene Resultat einen wichtigen Satz, den schon Archimedes benutzt hat:
Satz von Archimedes. Ist s eine beliebige, positive Zahl, so ist die obere Grenze von |e, 28, 3&,...})=+ ©.
12 Einleitung 8 19. 20
19. Wir betrachten jetzt die Menge {a’) der zu den Zahlen a einer Menge {a} entgegengesetzten Zahlen
a=—a. Ist die obere Grenze von {a’} eine Zahl G’, so nennt man die Zahl ==
die untere Grenze der Zahlenmenge {a}. Ist die obere Grenze von [a’} aber + 00, so sagt man, daß die untere Grenze von {a} gleich — 00 ist.
Die untere Grenze einer Zahlenmenge hat also folgende Bedeutung: Falls es Zahlen gibt, die < allen Elementen von {a} sind, so ist die untere Grenze von {a} die größte unter diesen Zahlen. Falls aber der- artige Zahlen nicht existieren, so ist die untere Grenze gleich — wo. Jede reelle Zahl wird im Gegensatz zu den Symbolen + oo als „end- lich“ bezeichnet.
20. Eine Zahl, die einer natürlichen Zahl entweder gleich oder ent- gegengesetzt ist, oder die gleich Null ist, nennt man eine ganze Zahl.
Der Begriff der ganzen positiven Zahlen deckt sich daher mit dem Begriff der natürlichen Zahlen. Ferner beweist man ohne Schwie- rigkeit nach unseren früheren Darlegungen, daß die Summe, die Dif- ferenz und das Produkt von zwei ganzen Zahlen wieder eine ganze Zahl ist. |
Ist a eine beliebige Zahl, so gibt es, wenn wir im Satz von Archi- medes = 1 setzen, nach diesem Satze eine ganze positive Zahl p, die größer als — a ist:
p>—a
oder (1) p+a>d.
Man bezeichne mit q die kleinste natürliche Zahl, die (p+ a) über-
trifft ($ 15, Satz 5). Ist dann q >1, so ist (g—1) ebenfalls eine natür- liche Zahl, und man hat
(2) ga 1spta<g;
ist aber q= 1, so ist wegen (1) die Relation (2) ebenfalls erfüllt. Die ganze Zahl
n=q—p-|1l hat also stets die Eigenschaft, daß | n<sa<nH+tl
ist, d.h. wir haben den Satz:
8 21 Das Stetigkeitsaxiom 13
Satz 2. Ist a eine beliebige Zahl, so gibt es stets zwei aufeinander- folgende ganse Zahlen n und (n-+ 1), welche die Relation
n<a<n-ti erfüllen.
21. Eine Zahl von der Gestalt @ E
wo p und q gauzzahlig sind und g=+F0 ist, heißt eine rationale Zahl; das Symbol (1) heißt ein Bruch, p ist der Zähler, q der Nenner des Bruches. Jede ganze Zahl ist rational; man braucht ja bloß, um die Form (1) herzustellen, p gleich der gegebenen ganzen Zahl und qg =1 zu setzen.
Die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient von zwei rationalen Zahlen sind wieder rationale Zahlen; dabei ist die Null als Divisor stets ausgeschlossen.
Es seien a und b zwei beliebige Zahlen, die voneinander verschieden sind, und es sei a < b. Nach dem Satz von Archimedes können wir eine natürliche Zahl q finden, so daß
qab—a)>1 ist, was man auch (2) ga+1i1<gb schreiben kann. Nach dem vorigen Satze kann man zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen (9 — 1) und p finden, so daß
p—-1l<zga<p ist, und diese letzte Relation kann ıman noch schreiben (8) ga<p<ga+l. Vergleicht man (2) und (3), so erhält man | ga<p<gb und hieraus a<7 <b.
Satz 3. Sind a und b verschiedene Zahlen, so gibt es immer mindestens eine ralionale Zahl r, die zwischen ihnen liegt.
Bezeichnet man mit {r} die Gesamtheit der rationalen Zahlen, die kleiner sind als eine gegebene Zahl a, so ist keine Zahl a’<a größer
14 Einleitung g 22
oder gleich allen Zahlen von {r}, da nach dem letzten Satze rationale Zahlen existieren, die zwischen a’ und a liegen. Hieraus folgt:
Satz 4. Jede Zahl ist die obere Grenze der rationalen Zahlen, die sie übertrifft.
Ebenso beweist man, daß jede Zahl die untere Grenze der ratio- nalen Zahlen ist, die die gegebene Zahl übertreffen.
Ein anderer sehr nützlicher Satz ist folgender:
Satz 5. Die untere Grenze der Zahlen von der Form 1 nn’
won eine beliebige natürliche Zahl bedeutet, ist gleich Null.
In der Tat sind alle diese Zahlen positiv, ihre untere Grenze also sicher nicht negativ. Ist aber & eine beliebige positive Zahl, so gibt es nach dem Satz von Archimedes eine natürliche Zahl n, so daß
ne>]1l oder , 1 a ist. Hieraus folgt aber die Behauptung unmittelbar.
22. Die Symbole + oo und — oo, die wir eingeführt haben, sind keine eigentlichen Zahlen; würde man versuchen alle früheren Axiome auf die durch diese Symbole erweiterte Menge aller reellen Zahlen an- zuwenden, so würden sich sehr bald Widersprüche einstellen. Es ist aber möglich, Regeln für das Rechnen mit den Symbolen + oo aufzu- stellen, deren Anwendung äußerst bequem ist, weil sie in vielen Fällen die Ausdrucksweise bedeutend abkürzen. Da es sich nur um eine kleine Anzahl solcher Regeln handelt, kann man sich in jedem speziellen Falle leicht vergewissern, ob ihre Anwendung zu richtigen Resultaten führt. Der Leser dieses Buches muß dies stets tun und zugleich im Auge be- halten, daß es sich lediglich um eine Ausdrucksweise handelt, die nur erlauben soll, gewisse langwierige Fallunterscheidungen zu vermei- den. Ob im Folgenden ein Buchstabe nur eine endliche Zahl oder auch eins der Symbole +00 bedeuten darf, wird immer unzweideutig aus dem Zusammenhange hervorgehen.
Für die durch + oo und — oo erweiterte Menge aller reellen Zahlen erklären wir nun folgende Bezeichnungen und Relationen:
1. Ist a eine beliebige endliche Zahl, so setzen wir
(1) a<+oo und a>—oo,
8 23 Das Stetigkeitsaxiom 15 außerdem aber noch | (2) . —-o<+m.
Genügt also z.B. eine Zahl a unserer erweiterten Menge der Be- dingung
a<+m®,
so heißt das, daß a entweder eine endliche Zahl oder — oo ist.
2. Ist a eine endliche Zahl, so setzt man
(3) at =+o+a=+m,
(4) a—-— = —-o ta=— 0
und außerdem _
(5) + +o=-+oo, —- 00-0 = —.
3. Bedeutet p eine positive und n eine negative Zahl, so setzt man PH) (+0) p-+0 n-(+00)=(+00)-n = — oo 2%) = 8), p=— n-(-o0)=(-o).n=-+o
(6)
und außerdem (+0) (+0) +
(7) +) - Ro) (- a) (to)= 0 x) (-0)- +0.
Aus (6) folgt dann insbesondere, daß
@ (0) = (-1):(-0)= +0 ist. 4. Ist a eine beliebige endliche Zahl, so setzt man a a (9) eh
Die soeben erklärten Operationen werden wir sehr oft benutzen; da- gegen sind die folgenden Operationen nicht erklärt und sollen stets als sinnlos angesehen werden: 1. die Division einer beliebigen endlichen oder unendlichen Zahl durch Null, 2. Die Operationen +»
+99 —-o, —o +, 0(+®), (+&%)0, ee
23. Die Betrachtung der unendlichen Zahlen im Sinne des vorigen Paragraphen erlaubt insbesondere den Wortlaut gewisser Sätze über
16 Einleitung 8 24
obere und untere Grenzen von Zahlenmengen sehr zu vereinfachen, da man dann die verschiedenen Fälle, wo diese Grenzen endlich oder un- endlich sind, alle zusammen behandeln kann. Es können sogar unend- liche Zahlen unter den Elementen unserer Mengen vorkommen, ohne daB wir unsere Betrachtungen zu verändern brauchen:
Satz 6. Sind {a} und |b} zwei beliebige Zahlenmengen und kann man jedem Element a von {a} mindestens ein Element b von |b} zuordnen, das nicht kleiner als a ist, so ist die obere Grenze G, von |b} nicht kleiner als die obere Grenze G, von {a}.
Kann man dagegen jedem Elemente von {a} mindestens eın nicht größeres Element von {b} zuordnen, so besteht swischen den unteren Gren- zen 9, von |b} und g, von {a} die Relation
KZH-
Aus @,> @, würde nämlich folgen, daß mindestens ein Element von {a} existiert, das größer als G, und folglich als alle Elemente von {db} ıst; und aus g, < 9, würde man die Existenz eines Elementes von {a} behaupten können, das kleiner ist als g, und folglich als alle Ele- mente von {b}. Beides widerspricht aber den Voraussetzungen des Satzes.
Ein spezieller Fall des vorigen Satzes ist folgender:
Satz 7. Ist die Zahlenmenge (a) eine Teilmenge der Zahlenmenge (b}, so bestehen zwischen den oberen und unteren Grenzen dieser Zahlenmengen zugleich beide Relationen
G.<G, wd 9,29
In der'Tat ist dann jedes Element von {a} gleich einem Elemente von {b}.
Absolute Beträge.
24. Unter dem absoluten Betrag einer endlichen Zahl a ver- steht man eine nicht negative Zahl, die mit |a| bezeichnet und folgen- dermaßen definiert wird:
lal=a falls a>0, al=--a fals a<O ist. Es ist stets (1) al=\-al,
wie sofort aus der Definition erhellt.
8 25 Absolute Beträge 17
Sind a und b zwei beliebige endliche Zahlen, so ist: 1. falls a >O undb>0O oder a<O y b<O ist, b|,
a+d=lal+| 2. falls a>0O undb<O oder a<O und b >O ist, entweder a+5=lal— |d| <jal + |d| a+b=|d| -jal<lal+ dl. In allen Fällen ist also
oder
(2) Ia—-ldl<ja+dl<lal+ ll. Ferner ist immer, wegen (1), (8) \a-d| = la|-\b|-
Setzen wir ferner
zo|=-+w,
so sieht man leicht, daß die Relationen (1), (2) und (3) für die durch + oo erweiterte Menge aller Zahlen erhalten bleiben, so lange die darin ausgeführten Operationen einen Sinn haben ($ 22).
25. Sind a und b zwei endliche Zahlen, so kann man mit Hilfe des Begriffs des absoluten Betrages einen Ausdruck für die größere und die kleinere der beiden Zahlen ableiten. Es sei z.B. a<b; dann hat man
db—-al=b-a
| „++ al a
Ist aber a >b, so findet man
und
d-al=a-—b
und daher a+b+|jb—a > u a
Die größere der beiden Zahlen ist also stets
a+b+|b—al
9 ’
und ebenso findet man, daß die kleinere der beiden Zahlen gleich
a+b—|b—al
Ba zer en
ist. Carath&odory, Beelle Funktionen. 2
18 Einleitung. Das Zuordnungsaxiom 2a
Das Zuordnungsaxiom.
26. Es ist meistens bequem, die Sprache der analytischen Geo- metrie zu benutzen, und statt von Zahlen, von Punkten, die auf einer Achse liegen, zu sprechen. Dies erfordert ein neues Axiom, das uns aber deshalb natürlich erscheint, weil die Streckenrechnung der Alten, die im Lehrbuche von Euklid ihre endgültige Darstellung gefunden hat, den vorhesgehenden Axiomen — soweit sie für positive Zahlen gelten — genügt. |
Dieses Axiom, das die Verbindung zwischen Analysis und Geo- metrie herstellt, lautet:
VII. Ordnet man jedem Punkte P einer Achse, auf wel- cher der Nullpunkt O und der Einheitspunkt E gegeben sind, eine Zahl x zu, die gleich dem Verhältnisse
oP ee OE => ee . [) der gerichteten Strecken OP und OE ist, so entspricht ver-
möge dieser Zuordnung jeder endlichen Zahl x genau ein Punkt P der Achse.
Wählen wir in einer Ebene zwei Achsen, die sich senkrecht schnei- den, und legen den Nullpunkt jeder Achse in ihren Schnittpunkt mit der andern, die Einheitspunkte aber in zwei andere beliebige Punkte dieser Geraden, so ist jedem Punkte der Ebene das Zahlenpaar seiner Koordinaten zugeordnet, und umgekehrt jedem Zahlenpaar ein Punkt der Ebene.
Ganz analog wird jedem Zahlentripel ein Punkt des en sionalen Raumes zugeordnet, und umgekehrt.
Endlich kann man aber auch die Sprache der »-dimensionalen Geo- metrie einführen, indem man jedem Komplex (2, %, - - ., 2,) von n endlichen Zahlen einen Punkt des »-dimensionalen Raumes RN, zu- ordnet. Damit gewinnen wir die Möglichkeit, unseren Resultaten, die sich eigentlich nur auf Zahlen beziehen, eine gewisse Anschaulichkeit zu verleihen, ohne deshalb diese Resultate weniger scharf und streng ableiten zu müssen.
8 27 Kap. I. Über Punktmengen. Definitionen 19
Kapitel I. Über Punktmengen. Definitionen.
27. Betrachtet man die umkehrbar eindeutige Abbildung der reellen Zahlen auf die Punkte einer Achse ($ 26), so entspricht jeder Zahlen- menge ($ 11), die aus endlichen Zahlen besteht, eine sogenannte lineare Punktmenge.
Eine lineare Punktmenge ist eine Gesamtheit von Punk- ten einer Geraden, die ganz beliebig ist; d.h. wir brauchen nur zu wissen, daß jeder Punkt der Geraden nur entweder zur Menge oder nicht zur Menge gehören kann.
Beispiele von linearen Punktmengen:
1. Die Punktmenge, die aus dem Punkte x = 0 allein besteht.
2. Die Punktmenge, deren Elemente den ganzen Zahlen 0,1,2,3,... entsprechen.
3. Die Punktmenge, die aus den Punkten
1
I
(k=1,2,3,...) besteht. |
4. Die Punktmenge, die aus den Punkten unter 3. und außerdem aus dem Punkte x = O besteht.
5. Die Menge aller rationalen Punkte (d. h. Punkte mit rationaler Abszisse).
6. Die Punktmenge, deren Punkte die Bedingung 0<sı<l
befriedigen. Diese Punktmenge enthält den Punkt x=0, aber nicht den Punkt = 1.
7. Das lineare Intervall von a bisb (a<b). Das ist der In- - begriff aller Punkte der Achse,
die der Bedingung Sr ME Fr nn
0 a 1 b x a<x<b Fig. 1.
genügen, wobei a und b endliche Zahlen bedeuten. Die Punkte a und b heißen die Endpunkte des Intervalls und gehören nicht zum Inter- vall Der Punkt
a+b 2
heißt der Mittelpunkt des Intervalls, die positive Zahl (b—a) wird die Länge des Intervalls genannt. 2*#
20 Kap. I. Über Punktmengen 8 28. 29
28. Der Begriff einer ebenen Punktmenge ist ganz analog dem für lineare Punktmengen auseinandergesetzten. Jedem Punkte der Ebene ist das Zahlenpaar seiner Koordinaten zugeordnet und eine ebene Punktmenge ist also als eineMenge von Zahlenpaaren aufzufassen.
Ebenso sahen wir ($ 26), daß man jeden Komplex von » end- lichen Zahlen (z,, 2,,...., 2,) einen Punkt des »-dimensionalen Rau- mes R, nennt. Eine Punktmenge in diesem Raume ist dann jede Menge von derartigen Zahlenkomplexen. Hierbei ist zu beachten, daß wir einen solchen Zahlenkomplex nur dann als Punkt ansehen, wenn jede Zahl des Komplexes endlich ist.
29. Dieselbe Rolle, die das lineare Intervalla<x<b unter den linearen Punktmengen spielt, spielt das Rechteck oder zwei- dimensionale Intervall für die ebenen Punktmengen. Ein zwei-
dimensionales Intervall 7 in der zy-Ebene ist die Menge aller Punkte, für die zugleich a<z<b und a’<y<P
Dr: ist. Dabei ist zu beachten, daß die Punkte, die man gewöhnlich als Rand des Rechtecks zu be- el... zeichnen pflegt, also z. B. der Punkt
mit den Koordinaten a’-+ b’ 2
nicht zum Intervall I gehören. (Vgl. hierzu die Definition des abge- schlossenen Intervalls, $ 55.)
Ähnlich können wir im n-dimensionalen Raume »-dimensio- nale Intervalle definieren. Dies sind die Mengen aller Punkte (%, +, %,), für welche zugleich die Ungleichheiten
a,<2,<b, (k=1,2,...,n)
ı
wel, Y-
stattfinden. Hierbei bedeuten die a, und 5b, vorgegebene endliche Zahlen; die positiven Zahlen (d, — a,) nennt man die Längen der Kanten des Intervalls. Ein Intervall mit lauter gleichen Kanten heißt ein n-dimensionaler Würfel, im speziellen Falle, won = 2 ist, ein Quadrat.
Der Punkt mit den Koordinaten
a,+b; 2
heißt der Mittelpunkt des Intervalls oder des Würfels.
$ 30. 31 Die Grundoperationen an Punktmengen 2ı
Die Grundoperationen an Punktmengen.
30. Wir bezeichnen die Punktmengen symbolisch durch große latei-
nische Buchstaben A, Bus:
Die Punktmengen, die wir gleichzeitig betrachten und miteinander vergleichen wollen, sollen alle in einem und demselben »-dimensionalen Raume Ri, liegen, wobei » irgendeine natürliche Zahl bedeutet. Die Punkte des R, zusammengenommen nennen wir den Gesamtraum; außerdem ist es bequem auch eine leere Menge einzuführen, d. h. eine solche, die keinen einzigen Punkt besitzt. Für diese leere Punktmenge werden wir oft das Zeichen O0 benutzen.
Sind alle Punkte einer Punktmenge B in der Punktmenge A ent- halten, so heißt B eine Teilmenge von A; diese Beziehung stellen wir
durch das Zeichen B<A oder A>DB
dar. Die leere Menge soll als Teilmenge von jeder beliebigen Punkt- menge A gelten 0<4A.
Unter die Teilmengen B einer Punktmenge A nehmen wir auch die Punktmenge A selbst auf; gibt es Punkte von B, die nicht in A ent halten sind, so heißt B eine echte Teilmenge von A. Ist sowohl A<B als aueh A >- B, so bestehen die beiden Punktmengen aus denselben Punkten, und wir schreiben
A=DB.
31. Unter der Komplementärmenge A’ einer Punktmenge A verstehen wir die Punktmenge, die aus allen Punkten des Gesamt- raumes besteht, die nicht zu A gehören, und nur aus diesen.
Ist z.B. A die lineare Punktmenge O<x<1, der Gesamtraum also die x-Achse, so ist A’ die Menge aller Punkte, für welche x < 0 oder 2 >1 ist.
Bedeutet aber A dieselbe Strecke in der zy-Ebene, d.h. die Ge- samtheit der Punkte, für welche zugleich O<z<1 und y= 0 ist, so besteht die Komplementärmenge A’ erstens aus allen Punkten der Ebene, für welche y=F 0 ist, und außerdem aus den Punkten, für welche ent- weder z<0,y=0 oder >1,y-=0 ist.
Für die Komplementärmenge gilt ferner die Beziehung: Ist A<B, so ist stets BD’ < A’.
23 Kap. I. Über Punktmengen $ 82. 33
32. Durchschnitt von zwei Punktmengen A und B nennen wir die Gesamtheit der Punkte, die sowohl in A als auch in B ent- halten sind. Wir schreiben, wenn D den Durchschnitt von A und B be- zeichnen soll, |
D=AB*) Haben A und B keine gemeinsamen Punkte, so ist AB=0,
indem wir wieder mit Null die leere Menge bezeichnen. Insbesondere ist also auch
A-O=0. Es ist übrigens stets
AB<A, und nur dann
AB=4A,
wenn A eine Teilmenge von B ist. Es ist trivial, daß für den Durchschnitt das kommutative Ge- setz gilt: Ä AB=BA. Ebenso gilt das assoziative Gresetz: (AB)C = A(BC) = ABC. Endlich sehen wir, daß, wenn A< A, und B< B,, auch AB<AB, ist. 33. Es seien A und B zwei Punktmengen ohne gemeinsamen Punkt: AB=0; dann nennen wir die Punktmenge, die aus allen Punkten von A und aus allen Punkten von B, soweit sie vorhanden
sind, und nur aus diesen Punkten besteht, die Summe S der beiden Punktmengen A und B und schreiben
S=A+B. Es versteht sich von selbst, daß auch hier das Gesetz
A+B=B+A
*, Um diese Schreibweise als Produkt zu verstehen, denke man sich eine Funktion p,(P) des Punktes P(vgl. $83), die in allen Punkten einer beliebigen Punktmenge M gleich Eins ist und in den Punkten der Komplementärmenge M von M verschwindet; dann ist
9,(P)=y9,(P) yrP).
$ 34. 35 Die Grundoperationen an Punktmengen | 23
gilt. Das Symbol (A+ B) + C hat aber nur dann einen Sinn, wenn einerseits AB=(), anderseits (A+B)C=0 ist; letzteres ist aber dann und nur dann der Fall, wenn AU=BC=0 ist. Aus BÜ=0 folgt nun, daß (B+C) einen Sinn hat, und dann aus AB=AC=(, daß A(B-+C)=0 ist. Man sieht schließlich ein, daß die rechte Seite der
Gleichung (A+B)+C=4A+(B+O)
einen Sinn hat, sobald dies für die linke der Fall ist, und daß die Glei- chung dann immer richtig ist. Das kommutative und das assozia- tive Gesetz gelten also für die Summe von Punktmengen. |
Für Durchschnitt und Summe gilt ferner das distributive Gesetz
C(A+B)=CA+CB, denn links steht die Menge der Punkte, die zu Ü und zu A oder B ge- hören, und rechts die Menge der Punkte, die zu C und A oder zu C und B gehören.
Bei der Anwendung dieses Gesetzes ist aber dar- auf zu achten, daß nicht immer beide Seiten zugleich einen Sinn haben. Wenn die linke Seite einen Sinn hat, d.h. AB= 0 ist, so hat auch die rechte Seite einen Sinn, denn dann ist
(CA)-(CB) = (C- CO) (AB) = C-0=0.
Ist aber umgekehrt (CA) (CB)= CAB=0, so kann man nicht schließen, daB AB= 0 ist, wie die nebenstehende Figur zeigt.
34. Ist Bin A enthalten, also AB = B, so ist die Differenz (A—B) der beiden gegebenen Mengen durch die Gesamtheit der Punkte definiert, die zu A, aber nicht zu B gehören. Differenz und Summe stehen hier- nach in der Beziehung: Wenn O= A—B ist, so st A=C+B.
35. Wir gehen jetzt zum Begriff der Vereinigungsmenge über, einer Verallgemeinerung des Summenbegriffs, bei welcher die Leerheit des Durchschnitts nicht mehr vorausgesetzt wird: Die Vereinigungs- menge Y von zwei beliebigen Punktmengen besteht aus dem Inbegriff der Punkte, die zu A oder B gehören. Wir schreiben symbolisch
V=AHB. Offenbar ist A+B=BHA,
A+(B40)=(A+B)+C.
24 Kap. I. Über Punktmengen 8 86. 87
Hier gilt das distributive Gesetz ohne Einschränkung: C(A+B)=CA+HCB. Ferner haben wir für A< 4A, und B<B, A+B<A +B..
36. Die Vereinigungsmenge V von zwei Punktmengen A und B besteht aus allen Punkten von A und aus allen Punkten von B, die nicht in A enthalten sind. Man kann also schreiben:
V=A+B=A+(B- AB).
Die Operation (B— AB) kommt fast ebenso oft vor wie die des Durch- schnitts AB oder der Vereinigung A + B von zwei Mengen und muB daher auch unter die Grundoperationen über Mengen aufgenommen werden.
37. Mit Hilfe des Begriffs der Komplementärmenge lassen sich die drei Grundoperationen AB, A+ B, (A— AB) aus einer beliebigen unter ihnen ableiten.
Wir wollen z. B. die Operation AB zu Grunde legen; setzen wir V= _A+DB, so besteht die Komplementärmenge V”’ von V aus allen Punkten, die zugleich zu A’ und zu B’ gehören (s. Fig.4). Also ist
(1) V’=4AbB
und da die Komplementärmenge einer Komplementärmenge die ur-
sprüngliche Menge ist, so hat man (2) A+B=(4'B').
‘Mit Hilfe des Schlusses von » auf (nr +1) kann man die Formeln (1) und (2) auf die Vereinigungsmenge von beliebig vielen Punktmengen in endlicher Anzahl übertragen. Setzt man nämlich
Vu AtAt 44,
= AtrtAr ++ Ar
und ist nach Voraussetzung V=A As.:.4,, so folgt aus (1), wenn man diese Gleichung auf die Vereinigungsmenge V,„;,, von V„ und A,,, anwendet, Yazı = Vy-Ayyı = A)... A,+ı
»
$ 38 Endliche und unendliche Punktmengen. Abzählbarkeit .25
Für jede natürliche Zahl » ist also
(8) (AtAt + A)AAr An):
Ähnlich sieht un, daß, wenn A und B zwei beliebige Punktmengen bedeuten, -
(4) 4 —AB=APR
ist. Endliche und unendliche Punktmengen. Abzählbarkeit.
38. Die einfachsten nicht leeren Punktmengen sind die, die aus einer endlichen Anzahl von Punkten bestehen, und die man also ein- eindeutig auf einen Abschnitt der natürlichen Zahlenreihe abbilden kann (8 16). Über solche Punktmengen, die man endliche Punkt- mengen nennt, gilt folgender Satz:
Satz 1. Jede nicht leere Teilmenge B einer endlichen Punktmenge A ist wiederum eine endliche Punktmenge, und die Anzahl der Punkte von B ist nicht größer als die von A. Ist außerdem B eine echte Teilmenge von A, so ist die Anzahl ihrer Punkte kleiner als die von A.
Besteht die Punktmenge A aus einem einzigen Punkte P, so ist jede Teilmenge von A entweder leer oder identisch mit A. Der erste Teil des Satzes ist also in diesem Falle richtig. Um ihn allgemein zu beweisen, genügt es also nach dem Prinzip der vollständigen Induktion, zu zeigen, daß er für eine Punktmenge von (a + 1) Punkten richtig ist, sobald er für eine Punktmenge von n Punkten besteht.
Es seien P,, P,,..., Pi, Pa+ı die Punkte von A; ist dann der Punkt P,,, nicht in B enthalten, so it B eine Teilmenge von (A—P, ..)- Diese letzte Punktmenge ist aber auf den Abschnitt k<» der natürlichen Zahlenreihe eineindeutig abgebildet und enthält also n Punkte. Die Punktmenge B ist also endlich und kann nicht mehr als » Punkte ent- halten. Ist dagegen P,,, ein Punkt von B, so ist entweder (B—P,,,) leer, und dann enthält B nur einen einzigen Punkt, oder man kann den vorigen Schluß auf die Punktmenge (B— P,,,) anwenden. Diese letzte Punktmenge ist daher eineindeutig auf einen Abschnitt k< m der natür- lichen Zahlenreihe abgebildet und es ist m < n. Ordnet man dann den Punkt P,„,, der Zahl (m+ 1) zu, so ist B auf den Abschnitt k<(m+1) abgebildet, und unsere Behauptung bewiesen.
Um den zweiten Teil des Satzes zu beweisen, betrachten wir eine end- liche Punktmenge A von n Punkten und eine echte nicht leere Teil- menge B von A, die also z.B. den Punkt P, nicht enthält. Nach dem Vorigen ist B eine endliche Punktmenge; es sei m die Anzahl ihrer
\
36 Kap. I. Über Punktmengen | 5 89
Punkte. Nun ist aber (B+ P,) ebenfalls eine Teilmenge von A und die Anzahl ihrer Punkte ist (m +1); also ist (m+1)<n und daher, wie wir zeigen wollten, m <n.
39. Eine zweite Klasse von Punktmengen ist die, deren Punkte man auf die Zahlen der natürlichen Zahlenreihe abbilden kann. Es ist zunächst zu zeigen, daß eine solche Punktmenge A, deren Punkte wir mit P,, P3, ... bezeichnen, keine endliche Punktmenge sein kann. Nehmen wir nämlich an, sie wäre endlich und » sei die Anzahl ihrer Punkte, dann müßte nach dem Satze des vorigen Paragraphen jede nicht leere Teilmenge B von A endlich sein und nicht mehr Punkte als n enthalten. Dies ist aber insbesondere nicht der Fall für die Teilmenge
B=P+ft + Po
von A, die auf den Abschnitt k<n +1 der natürlichen Zahlenreihe abgebildet ist.
Die Punktmengen, zwischen deren Punkten und den natürlichen Zahlen eine umkehrbar eindeutige Zuordnung möglich ist, nennt man unendliche, abzählbare Punktmengen. Die Haupteigenschaft der abzählbaren Punktmengen ist folgende:
Satz 2. Jede Teilmenge B einer abzählbaren Punktmenge A ist ent- weder endlich oder abzählbar.
Wir bezeichnen mit.a,, a,, ... die Punkte einer abzählbaren Menge A und bemerken, daß die Punkte einer beliebigen nicht leeren Teilmenge C “ von A auf eine Teilmenge der natürlichen Zahlen abgebildet sind, die ein kleinstes Element besitzt ($ 15 Satz 5). Dieses kleinste Element ist Bild eines Punktes von C, den wir den ersten Punkt der Teilmenge C von A nennen.
Nun sei B eine Teilmenge von A, die nicht ändlich ist. Mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion definieren wir für jede natür- liche Zahl p einen Punkt b, folgendermaßen. Der Punkt
,=4a soll der erste Punkt der Teilmenge B En A sein, und mit bp +1 = Anpyı | soll für p > 1 der erste Punkt der Punktmenge B- ib, ..,b)
bezeichnet werden. Diese letzte ER ist nämlich nicht leer, da sonst die Menge B selbst endlich wäre, was der Voraussetzung wider-
8 40 Endliche und unendliche Punktmengen. Abzählbarkeit 97
spricht. Wir bezeichnen mit B die Gesamtheit der Punkte b,; diese Punktmenge ist nach dem Vorigen eindeutig definiert, und man hat für jede natürliche’ Zahl p (1) (b,,..,5,})<B<DB. Nun bemerke man, daß wegen der Ungleichheiten N <m <n<-.- und >21, nach dem Prinzip der vollständigen Induktion, stets n,Z k
sein muß. Ist jetzt a, irgendein Punkt von B, so ist also für y>% der Punkt b, = Any
sicher von a, verschieden, und hieraus folgt, daß a, kein Punkt von B— (bi; d3, ee b,}
sein kann und daher in {d,,...,d,} und nach (1) auch in B enthalten sein muß. | _ Die Punktmenge B enthält also jeden Punkt von B; es ist also’
B<B und wegen (1)
d. h. die gegebene Punktmenge B ist abzählbar, da B nach ihrer Kon- struktion abzählbar ist.
40. Die vorigen Sätze haben wir für Punktmengen bewiesen; wir haben aber nirgends davon Gebrauch gemacht, daß die Elemente dieser Mengen wirklich Punkte sind. Wir können daher endliche und abzählbare Mengen einführen, deren Elemente
Ay, As, As, ...
selbst beliebige Punktmengen sind. Solche „Mengen von Punktmengen“ nennt man auch endliche oder unendliche Folgen von Punktmengen.
Wir definieren zwei neue Operationen: Die Durchschnitts- und die Vereinigungsmenge von abzählbar unendlich vielen Punktmengen.
Die Durchschnittsmenge D=A,:4,°4;..-.
besteht aus allen Punkten, die in jeder der HaNKUnEngeR: A, ent- halten sind und nur aus diesen.
»8 Kap. I. Über Punktmengen 8 41. 42 Die Vereinigungsmenge V=-A+4%+4+--- ist die Gesamtheit der Punkte, die in mindestens einem A, vorkommen. Man findet, daß auch hier die Formel ($ 37) V=(4A) 4.4...) ihre Geltung behält; denn jeder Punkt der Komplementärmenge V” von V muß in allen A, enthalten sein, und jeder Punkt des Durch- schnitts aller A,’ ist ein Punkt von V”. Anstatt V=4A+4+4,+--- kann man auch schreiben V=-B+B+B+:--,, wenn man unter B,, D,,... folgendes versteht: B=4, B=4—4,B, B=4—4,(B,+B,)
Brrı u Ayyı = Aryı (Bi Tr =:7T B,). Dann ist in der Tat
B+B+.+B=-4+4+: +4, Die Vereinigungsmenge abzählbar vieler Mengen läßt sich also ersetzen durch die Summe abzählbar vieler Mengen, die Teilmengen jener sind.
41. Sind zwei Folgen A,, A,,... und B,, B,, : .. von je abzähl- bar vielen Punktmengen gegeben, und ist für jedes k Ar < Bi,
so folgt aus der Definition des Durchschnitts und der Vereinigungs- menge der A, resp. B;, daß sowohl
Ay-Ay-A,:: <B- BB, -- A+A+A4+ <B+Bt+B+--
als auch ist.
42. Es sei mit A, eine Menge von abzählbar vielen Elementen Gp1,5 QApg, . .. bezeichnet, und wir nehmen an, daß wir abzählbar viele derartige Mengen A,, A,, ... vor uns haben. Dann kann man eine ab-
$& 43 Endliche und unendliche Punktmengen. Abzählbarkeit 29
zählbare Menge A finden, deren Elemente aus lauter Elementen a,, der A, bestehen und zwar so, daß jedes dieser Elemente einmal und nur einmal vorkommt.
Wir schreiben das Schema:
Ay: Ayı> Aygs ar + ygn--
Ag: Ayız Oggy Aggy +7 Oggy -- Az: Qyı, Oggy, Agyyı -- -, Oggy.» 4,
: Gy13 A,3> Q,3> .e ., A,0 .oooeo
und ordnen die Elemente a,, (deren Gesamtheit wir mit A bezeichnen) folgendermaßen um:
A: Ayı; Qgız a5 Agır gay sh Ayan ee ai ee Aare Ar Zu jeder Indexsumme 9+g=s gibt es nur endlich viele Elemente, die in der Menge A aufeinanderfolgen und nach fallendem ersten Index
geordnet sind. Dadurch ist eindeutig der Rang jedes Elementes a,, festgelegt. Dem Elemente a,, gehen z. B.
1424... 49-222
Elemente voraus, ihm selbst kommt der Rang ep —) +1 zu. Das
Element a,, tritt in einer Gruppe auf, die mit a,,,_,,, beginnt; daher ist der Rang k von a,, gleich
(1) pero ieete=®, ,
Ist anderseits k eine beliebige positive ganze Zahl, so kann man auf eine und nur eine Weise zwei ganze positive Zahlen » und g so be- stimmen, daß die Gleichung (1) erfüllt ist: man muß zuerst die ganze positive Zahl s so wählen, daß
a En Fe 1) ist, und hierauf
G—-2)e— 2) g—k De -2
und p=s—q setzen.
43. Satz 3. Sind C,, C,, .. . endlich oder absählbar unendlich viele Punktmengen, von denen jede aus endlich oder abzählbar unendlich vielen
Punkten besteht, so hat die Vereinigungsmenge V dieser Mengen dieselbe Ligenschaft.
30 Kap. I. Über Punktmengen 8 44. 46
- Man kann in der Tat
VEBEBrse
setzen (8 40), wobei die 3, als Teilmengen von C, ebenfalls aus endlich | oder abzählbar unendlich vielen Punkten bestehen ($ 39). Bezeichnet man die Elemente derjenigen B,, die nicht leer sind, mit a,,, Q,s, - - -, so werden die BD, als Teilmengen unserer Mengen A, des $ 42 erscheinen und V als Teilmenge der abzählbaren Menge A. Die Punktmenge V ist
also jedenfalls abzählbar, falls sie nicht nur endlich viele Punkte enthält.
44. Es seien abzählbar unendlich viele Folgen (1) Ar, Ars, Arsı - - - (k=1,2,3,...) von abzählbar unendlich vielen Punktmengen gegeben. Mit V, und D, bezeichnen wir die Vereinigungsmengen und Durchschnitte
V,=AyıtAstAst D, = Ay Ars As; ferner mit V und D die Punktmengen V=-V, +9, +, +. D=D,D,D,---
Nach dem $42 kann man die ARTRHOENE A,, abzählen und folg- lich ihre Vereinigungsmenge 7 und ihren Durchschnitt D bilden. Jeder Punkt von V ist in mindestens einer Punktmenge A,, enthalten, folg- lich in mindestens einem V, und schließlich auch in V. Es ist also V<V. Umgekehrt ist jeder Punkt von V in mindestens einem V,
folglich in mindestens einem A,, und also auch in V enthalten. Es ist also
V‚=)J, und auf ganz analoge Weise zeigt man, daß D=D ist. | 45. Satz 4. Die Menge der Punkte der x-Achse mit positiwer ratio- naler Abszisse ist abzählbar.
Um diesen Satz zu beweisen, verstehen wir unter dem a,, des $ 42 den Bruch £, wobei 9 und g natürliche Zahlen sind. Diese Brüche
lassen sich also in eine Reihe bringen; darunter kommen aber einige rationale Zahlen öfter vor:
15 3,5: Mor sen 1, (8) (3), G 5 aa
& 46 Endliche und unendliche Punktmengen. Abzählbarkeit 31
Die Menge aller rationalen positiven Zahlen ist also, als Teilmenge der abzählbaren Menge aller positiven Brüche, selbst abzählbar.
Da ferner die Menge aller negativen rationalen Zahlen einschließ- lich der Null aus demselben Grunde auch abzählbar ist, so ist die Menge aller rationalen Zahlen, als Summe zweier abzählbarer Mengen, auch abzählbar ($ 43, Satz 3).
Satz 5. Sämtliche Punkte der Ebene mit rationalen Koordinaten bilden eine abzählbare Punktmenge.
x und y seien die rationalen Koordinaten eines Punktes P .der Menge; x kann dann die abzählbar vielen Werte der rationalen Zahlen annehmen
re SE TE dasselbe gilt von y GE Pater Nas
Den Punkt P mit den Koordinaten —=r, und y=r, fassen wir jetzt: als Element a,, unseres Schemas im $ 42 auf. Da aber die Menge.aller G,, &bzählbar ist, so ist damit der Satz bewiesen.
Ganz analog beweist man mit Hilfe des Schlusses von n auf (n +1):
Satz 6. Sämtliche Punkte des n-dimensionalen Raumes, die durchweg rationale Koordinaten besitzen, bilden eine abzählbare Menge.
46. Der Begriff der Abzählbarkeit bekommt nun erst dadurch seine rechte Bedeutung, daß es auch nicht abzählbare Punktmengen gibt. Die Existenz solcher Punktmengen behauptet folgender Satz von G. Cantor:
Satz 7. Ein lineares Intervall ist eine nicht abzählbare Punktmenge.
Wir beweisen diesen Satz, indem wir zeigen, daß jede abzählbare Teilmenge des gegebenen Intervalls eine echte Teilmenge ($ 30) des Intervalls ist.
Wir müssen also, wenn 2,,%,,... eine Folge von Punkten be- deutet, die im linearen Intervall a,< x < b, enthalten ist, einen Punkt & dieses Intervalls bestimmen, der nicht in dieser Folge enthalten ist. Zu diesem Zwecke werden wir eine Folge ineinandergeschachtelter Inter- valle: ö, > 6, >00, > --- konstruieren, von der Eigenschaft, daß ö, die Punkte 2,, 23, ..., 2, nicht enthält. Wir bezeichnen ein Intervall, dessen Endpunkte « und $ sind, durch das Symbol [«, #] und setzen d,= [a,, bu]; wir suchen hierauf den Punkt x, unserer Folge auf, und zerlegen das Intervall [x,,d,] in drei gleiche Teile durch die Teilpunkte a, und 5.. Wir setzen d, = [a,,b,] und bemerken, daß d, den Punkt x, nicht ent-
32 Kap. l. Über Punktmengen | 8 47
hält. Der Punkt x, kann nun entweder ein Punkt von Ö, sein oder nicht. Im ersten Falle zerlegen wir [x,, b,], im zweiten Falle [a,, b,] durch die Teilpunkte a, und b, in drei gleiche Teile. Das so konstruierte Inter- vall d,=[a,, b,] enthält x, nicht, und da d,</ö, ist, so enthält es auch nicht x,. Dieses Verfahren setzen wir fort: ist d, = [a,,b,] ein Intervall, das die Punkte x, ...x, nicht enthält, so zerlegen wir, je nachdem x, ,,
G-—;; in 6, enthalten ist
[a3 53 oder nicht,
Yy 2% 2 5b, 5 3% bp das Intervall Fig. 5. a [x,;1,d,] oder [a,,,] in drei gleiche
Teile und nehmen die so bestimmten Teilpunkte a,,, und b,,, als Endpunkte des Intervalls ö,,,. Nach dem Axiome der vollständigen Induktion enthält für jede natürliche Zahl % das Intervall d, keinen einzigen der Punkte &,, 25, -.-,%;. Außerdem folgt ebenfalls (nach unserer Konstruktion), daß für jede positive ganze Zahl die Relationen (1) | y.<G, <d, drı<d
erfüllt sind. Sind also % und p zwei beliebige natürliche Zahlen, so ist für A<p immer ,<a,<b, und für k>p immer ,<b,<b,, also jedenfalls stets
(2) a,<b,-
Da aus (2) für jedes % die Relation a,< b, folgt, ist die obere Grenze & aller a, eine endliche Zahl (8 18) und es ist für jedes k
a,<$& und E<b,
letzteres wegen (2). Endlich folgt noch ausa, <a, ‚<&und&<b,,,<b,, daß a,<$<b,
ist, d.h. daß der Punkt & für jedes k im Intervalle ö, liegt. Also ist & ein Punkt des gegebenen Intervalles [a,, b,] der von x, verschieden ist, was auch % für eine natürliche Zahl sein mag; d.h. & ist nicht in der Folge enthalten, w. z. b. w.
Dieser Satz, den wir für das eindimensionale Intervall bewiesen haben, gilt auch für Intervalle beliebiger Dimension. Denn ein solches enthält stets ein eindimensionales Intervall als Teilmenge, kann also selbst nicht abzählbar sein, da die Teilmenge einer abzählbaren Menge selbst abzählbar ist ($ 39).
4%. Vergleichen wir unser letztes Resultat mit dem Satze des $ 45, daß die Punkte mit rationalen Koordinaten, die im n-dimensionalen
8 48. 49 Endliche und unendliche Punktmengen. Abzählbarkeit 33
Raume, und folglich ($ 39) auch die, die in einem beliebigen Teile des Raumes enthalten sind, stets eine abzählbare Punktmenge bilden, so folgt hieraus, daß in jedem Intervall des Raumes außer diesen Punkten noch andere existieren müssen. Insbesondere sieht man, daß in jedem linearen Intervall a<x<<b zwischen zwei Zahlen, außer den rationalen Zah- len auch andere, sogenannte irrationale Zahlen liegen müssen.
Außerdem gilt der Satz:
Satz 8. Die Menge der irrationalen Zahlen eines Intervalls ist nicht abzählbar.
Wäre sie nämlich abzählbar, so würde das Intervall als Summe von zwei abzählbaren Mengen ebenfalls abzählbar sein (8 43), was dem vorigen Satze widerspricht.
48. Es ist möglich in jeder der speziellen Punktmengen, die wir bisher als Beispiele erwähnt haben, bestimmte Punkte anzugeben, die in diesen Mengen enthalten sind. So ist z. B. der Mittelpunkt eines Intervalls ($ 29) in diesem enthalten. Diese Operation, die als Zuord- nung eines bestimmten Punktes einer Menge zu dieser aufgefaßt werden kann, wird oft als Auswahl eines Punktes der Menge bezeichnet (vgl. hierzu den $ 83 unter III). |
E. Zermelo hat bemerkt, daß man zum Beweise einer Reihe von Sätzen, die für den Ausbau der Analysis unerläßlich sind, die Möglich- keit einer Operation fordern muß, die darin besteht, gleichz eitig aus jeder Teilmenge des Gesamtraumes einen Punkt auszuwählen, und daß man diese Forderung als neues Axiom zu betrachten hat.
Das Auswahlaxiom. Unter den Zuordnungen, bei denen jeder nicht leeren Punktmenge A eines n-dimensionalen Raumes, ein Punkt P dieses Raumes entspricht, existieren solche, bei denen P stets in A enthalten ist.
Es ist m. a.W. möglich, jeder Punktmenge A eines .n-dimensionalen Raumes Rt, einen ihrer Punkte eindeutig zuzuordnen und dies gleich- zeitig für alle Punktmengen des Raumes.
49. Das Auswahlaxiom erlaubt uns folgenden Satz zu beweisen:
Satz 9. Jede unendliche Punktmenge enthält abzählbare unendliche Teilmengen.
Es sei A eine unendliche Punktmenge; wir ordnen jeder nicht leeren Punktmenge C des Raumes nach dem Auswahlaxiom einen Punkt P..zu, der in ihr enthalten ist. Nun konstruieren wir mit Hilfe.
Carath&odory, Reelle Funktionen. 3
34 Kap. I. Über Punktmengen 8 50
des Prinzips der vollständigen Induktion eine abzählbare Punktmenge
B=(P,P,.--} folgendermaßen. Man setze P,,=P, und mit Hilfe der Bezeichnung
G=4A-(P,:.., Pi) Pırı = Pa;
setze man zweitens
was immer möglich ist, weil A nach Voraussetzung eine unendliche Punktmenge bedeutet und daher C, nicht leer ist. Die so definierte ab- zählbare Punktmenge B ist eine Teilmenge von A. Außerdem aber ist B eine unendliche Punktmenge, weil nach unserer Konstruktion für k#m auch P,=#P, ist.
Sätze über Intervalle.
50. Um die Punktmengen näher untersuchen zu können, müssen wir uns ein Instrument zurechtschneiden, mit dem wir im allgemeinen n-dimensionalen Raume Schlüsse ziehen können. Dies wird durch fol- gende einfache Sätze über Intervalle erreicht.
Satz 1. Der Durchschnitt von zwei mann ist leer oder wieder ein Intervull.
Es seien im n-dimensionalen Raume (wobei rn auch gleich Eins gedacht werden kann) die beiden Intervalle
I: , <a,<b, und I”: 1" < <b (k=1l,2,...,n) gegeben. Wir setzen
+. +azal b _b&b+b4-|b—-b r a,= ki 92 )
dann ist a, die größere der beiden Zahlen a,’ und a,, b, die kleinere der beiden Zahlen b, und 5,” (825). Haben nun die Intervalle I’ und I” einen Punkt j
51 6 nz 5
gemeinsam, d. h. ist ihr Durchschnitt nicht leer, so ist für jedes k .<5&,<b,
und der Punkt &,...&, ist im Intervalle
(1) I a,<2m,<b, (k=1,2,...,%)
8 50 Sätze über Intervalle 35 enthalten. Ist umgekehrt für jeden Wert von k ,<b,; so existiert das Intervall (1) und jeder Punkt von I ist sowohl in I’ als auch in /” enthalten. Man hat also I=I'I". Satz 2. Jedes Intervall ist in einem Würfel enthalten, dessen Mittel- punkt der Anfangspunkt der Koordinaten ist. Es sei | I: ,<z,<b, (k=1,2,...,n) das gegebene Intervall; man nenne c die größte unter den 2n Zahlen la,| und |b,|; dann genügt der Würfel ce <m<e (k=1,2,...,n) den Voraussetzungen des Satzs. Satz 3. Jeder Punkt P eines Intervalls I ist Mittelpunkt eines Wür- fels, der gamz in I enthalten ist. Es seien (&,, &,-.-.,&,) die Koordinaten des Punktes P und T: a, <2,<b, (k=1,2,...,%)
das gegebene Intervall. Nach Voraussetzung sind die 2» Zahlen (&,—a,) und (db, — &,) alle positiv und von Null verschieden. Es sei % die kleinste unter ihnen; dann hat der Würfel
g—h<n<&+h (k=1,2,...,n) die verlangten Eigenschaften.
Satz 4. Sind P und Q zwei voneinander verschiedene Punkte mit den Koordinaten (&,, &,-.- -,&,) und (NM, Ng5: +; N), so kann man einen Würfel J finden, der P zum Mittelpunkte hat und Q nicht enthält. Ist außerdem P ein Punkt des Intervalls I, so kann man verlangen, daß der Würfel J eine Teilmenge von I sei.
Um den ersten Teil des Satzes zu beweisen, bemerke man, daß, da die Punkte P und Q getrennt liegen, die Zahlen |&,—n,| nicht alle Null sein können. Ist z.B. die größte unter ihnen, so hat der Würfel
—h<n,<$&+h (k=1;2,.22:5%) die gewünschte Eigenschaft.
Ist zweitens P ein Punkt des Intervalls I, so nenne man J’ den soeben bestimmten Würfel; die Intervalle I und J’ haben den Punkt P
gemeinsam. Nach dem Satze 1 ist also die Punktmenge I’=I-J’ ein 3*
36 Kap. I. Über Punktmengen & 51
Intervall, das zwar P aber nicht Q enthält. Hierauf bestimme man den Würfel J, der nach Satz 3 den Punkt P als Mittelpunkt besitzt und in I’ enthalten ist; dieser Würfel ist der gesuchte.
51. Es sei p eine gegebene natürliche Zahl und, ,%,,..., k, irgend- welche ganze Zahlen. Wir betrachten die n-dimensionalen Würfel
—1 k 1 s << G=1,2,....,n)
und zwar sämtliche Würfel, die man erhält, wenn man p fest- hält und alle möglichen Kombinationen der Zahlen k, be- trachtet. Diese Würfel sind alle von gleicher Größe und ihre Mittel- punkte besitzen die rationalen Koordinaten
k; 2
Er (j=1,2,...,n) hieraus folgt aber, daß die Menge der betrachteten Würfel abzählbar ist ($ 45). Ist (&,,...,&,) ein beliebiger Punkt des Raumes, so kann man ($ 20) die k, so wählen, daß die Ungleichheiten
k,k—1<pi,<k, +1 (j=1,2,...,n) sämtlich gelten; hieraus folgt, daß jeder Punkt des Raumes in der Ver- einigungsmenge unserer Würfel enthalten ist, oder wie wir sagen wollen,
daß der Raum von unsern Würfeln überdeckt wird. Es sei endlich
I: a,<a,<b, j=1,2,...,n)
ein beliebiges Intervall des »-dimensionalen Raumes. Ein Würfel unserer Menge hat dann und nur dann Punkte mit I] gemeinsam, wenn die Un- gleichheiten
BF wma <, pa—1<k,<pb,+1
sämtlich erfüllt sind. Hieraus folgt aber, daß das Intervall / nur mit endlich vielen unserer Würfel Punkte gemeinsam hat.
Endlich bemerken wir, daß wenn 4 eine beliebige positive Zahl bedeutet, und wenn wir die natürliche Zahl
4; P>7z
wählen, die Kantenlänge unserer Würfel kleiner als A ist.
oder
Satz 5. Man kann den ganzen n-dimensionalen Raum mit einer ab- zählbaren Menge von gleich großen Würfeln überdecken, deren Kanten-
$ 52. 53 Vergleich einer Punktmenge mit dem Gesamtraum 37
länge kleiner als eine vorgeschriebene positive Zahl A ist. Es ist außerdem möglich, diese Würfel so zu wählen, daß es nur endlich viele unter ihnen gibt, die mit einem gegebenen Intervall I des Raumes Punkte gemeinsam haben.
Vergleich einer Punktmenge mit dem Gesamtraum.
52. Definition 1. Eine Punktmenge A heißt beschränkt, wenn sie Teilmenge eines Intervalls ist.
Insbesondere ist jedes Intervall beschränkt; dagegen ist z.B. die abzählbare lineare Punktmenge = 1,2,... nicht beschränkt.
Definition 2. Ein Punkt P heißt innerer Punkt einer Punkt- menge A, wenn ein Intervall J» existiert, das P enthält und zugleich Teilmenge von A ist.
Man muß also zugleich P<< I» und I» <{ A haben. Insbesondere ist jeder Punkt eines Intervalls innerer Punkt dieses Intervalls, weil man in diesem Falle /-= A setzen kann. Ein Intervall besteht aus lauter inneren Punkten.
Definition 3. Eine Umgebung des Punktes P ist jede aus lauter inneren Punkten bestehende Punktmenge U,, die den Punkt P enthält.
Jede Umgebung U, von P enthält ein Intervall I», in welchem P selbst enthalten ist; gäbe es nämlich kein solches Intervall, so wäre P, entgegen der Definition von U>, kein innerer Punkt von Up. Ander- seits ist aber schon ein Intervall /,, das P enthält, eine Umgebung von P, weil es aus lauter inneren Punkten besteht. Man kann also sagen, daß es notwendig und hinreichend ist, damit P innerer Punkt von A sei, daß eine Umgebung von P Teilmenge von A sei.
53. Mit Hilfe des Begriffes der Umgebung wollen wir nun die Punkte des Gesamtraumes in bezug auf eine ung A klassifizie- ren; es bestehen folgende Möglichkeiten:
1. Es gibt eine Umgebung U, von P, so daß UrA=0 ist. Dann gehört also weder P selbst noch ein anderer Punkt von Ur zu A, sondern U? ist Teilmenge der Komplementärmenge A’. Folglich ist P innerer Punkt von A,
2. Es gibt kein Ur, so daB U, A = ist; es gibt aber min- destens ein Ur, das nur einen einzigen Punkt Q) von A enthält. Dann muß Q mit P zusammenfallen: man kann nämlich nach der Defini-
38 Kap. I. Über Punktmengen $ 53
tion der Umgebung ein Intervall /> finden, das P enthält und in Ur enthalten ist, und, falls Q@ und P voneinander verschieden sein sollten, ein Teilintervall /> von Ir konstruieren, das P aber nicht Q enthält ($ 50, Satz 4). Dann ist /> eine Umgebung von P und, da pP <Ir<U7r ist, ist [PA<’ UA. Nun besteht Ur A nach Voraussetzung ays dem einzigen Punkte Q, und Q ist nicht in Jr und folglich auch nicht in IpA enthalten. Es müßte also [> A entgegen der ursprünglichen Voraus- setzung eine leere Menge sein. Also ist der Punkt P in A enthalten, und es gibt Umgebungen U> von P, die keinen weiteren Punkt von A enthalten; der Punkt P heißt dann ein isolierter Punkt der Punkt- menge A. |
3. Jede Umgebung U, von P enthält mindestens einen Punkt von A, der von P verschieden ist. Dann muß jede Um- gebung Ur unendlich viele Punkte von A enthalten; angenommen nämlich man könnte ein Ur so wählen, daß außer etwa P nur noch endlich viele Punkte Q,, Q,,- - -, Q, in UrA enthalten sind, dann könnte man m Intervalle Z,,2,,..., Z, finden, die P enthalten und in U> ent- halten sind und die außerdem die Eigenschaft haben, daß J, den Punkt Q, nicht enthält (8 50, Satz 4). Der Durchschnitt /=11],...I, dieser Intervalle ist wieder ein Intervall, das P enthält, in U> enthalten ist, und keinen einzigen der Punkte Q, enthalten kann; dies Intervall I ist dann eine Umgebung von P, die außer vielleicht P keinen einzigen Punkt von A enthält, und dies widerspricht unserer Voraussetzung.
In diesem Falle heißt P Häufungspunkt von 4; er kann, aber braucht übrigens nicht selbst ein Punkt von A sein.
Ich wiederhole die Definition des Häufungspunktes:
Ein Punkt P des Raumes heißt Häufungspunkt von A, wenn jede Umgebung Ur von P mindestens einen Punkt von A enthält, der von P verschieden ist; und dann müssen unend- lich viele Punkte von A in Üp enthalten sein.
Unter den Häufungspunkten unterscheiden wir noch besonders Kondensationspunkte und innere Punkte ($ 52).
4. Definition. Ein Häufungspunkt P heißt Kondensations- punkt, wenn für keine Umgebung U, von P der Durchschnitt U,A abzählbar ist.
Ist also P Häufungspunkt von A, aber kein Kondensationspunkt, so gibt es zwar keine Umgebung U, von P, für welche U,A endlich ist, aber mindestens ein U>, so daß U,A abzählbar ist.
Jeder innere Punkt von A ist Kondensationspunkt; nach Voraussetzung gibt es ein Intervall /-, das P enthält und in A ent-
>
S 54 Klassifizierung von Punktmengen 39
halten ist. Ist dann U, eine beliebige Umgebung von P, so gibt es ein Intervall J>, das P enthält und Teilmenge von U; ist. Aus
Ip <A und Jr < Ur
IpIJp < AU.
Nun ist IpJp ein Intervall ($ 50, Satz 1) und folglich nicht abzählbar ($ 46), umsomehr gilt dasselbe dann von AU.
Beispiele. Zu 1: A bestehe aus den Punkten O<xz<1. Der Punkt — 1 ist innerer Punkt der Komplementärmenge.
Zu 2: A bestehe aus den Punkten O<x< 1 und außerdem aus
folgt
xz=—lundxz=-—.2; die beiden letztgenannten Punkte sind isolierte Punkte von A. Zu 3: A bestehe aus den Punkten 1, n > ..., . .... Nämt- N
liche Punkte der Menge sind isolierte Punkte. Der nicht zur Menge ge- hörende Punkt O ist Häufungspunkt, aber nicht Kondensationspunkt von A.
Zu 4: A besteht aus den Punkten O<x<1. Die Punkte O und 1 sind Kondensationspunkte, die nicht in A enthalten sind.
Klassifizierung von Punktmengen.
54. Wir haben schon unter den Punktmengen abzählbare und nicht- abzählbare, beschränkte und nichtbeschränkte ($ 46, 52) unterschieden. Zu weiteren Unterscheidungen gelangt man, wenn man eine Punkt- menge A mit der Menge H, ihrer Häufungspunkte vergleicht, die von . vielen Autoren die Ableitung der Punktmenge A genannt wird. Im allgemeinen liefert allerdings dieser Vergleich nichts bemerkenswertes.
Es gibt jedoch zwei extreme Fälle:
1. Hı <A, d. h. jeder Häufungspunkt von A ist Punkt der Menge A. Dann heißt die Menge A abgeschlossen.
2. H,> 4A, d.h. jeder Punkt von A ist Häufungspunkt von A. Dann heißt die Punktmenge A in sich dicht.
3. Diese beiden Fälle brauchen, wie Beispiele zeigen ($ 55), sich nicht auszuschließen; eine Menge A kann sowohl abgeschlossen, als in sich dicht sein; dann heißt die Punktmenge A perfekt.
Diese Begriffe und auch die Bezeichnungen sind von G. Cantor geschaffen worden. Ferner ist zu bemerken, daß nach unserer Definition eine Punktmenge A auch dann als abgeschlossen angesehen werden muß,
40 - Kap. I. Über Punktmengen 8 55
wenn die Menge H, ihrer Häufungspunkte leer ist. So ist z. B. die Ge- samtheit der Punkte mit durchweg ganzzahligen Koordinaten eine ab- geschlossene Punktmenge. .
Satz 1. Die Komplementärmenge einer abgeschlossenen Punktmenge besteht aus lauter inneren Punkten. .
Beweis: A sei abgeschlossen und P sei ein Punkt der Komple- mentärmenge A’. Dann.ist P kein Punkt von A, und, wegen der Ab- geschlossenheit von A, auch kein Häufungspunkt von A. Also gibt es eine Umgebung von P, die keinen einzigen von P verschiedenen Punkt von A, und folglich keinen einzigen Punkt von A enthält. D. h. der Punkt P ist innerer Punkt der Komplementärmenge A’.
Satz 2. Besteht A aus lauter inneren Punkten, so ist die Komple- mentärmenge A’ von A abgeschlossen.
Beweis: Es ist zu beweisen, daß jeder Häufungspunkt der Komple- mentärmenge A’ zu A’ und also nicht zu A gehört. Das folgt aber so- fort daraus, daß jeder Punkt von A innerer Punkt ist; daher gibt es um jeden Punkt P von A ein Intervall, das ganz zu A gehört, in dem also kein Punkt von A’ liegt.
Diese Dualität zwischen abgeschlossenen Punktmengen und solchen, die aus lauter inneren Punkten bestehen, ist, wie wir sehen werden, sehr tief ausgeprägt; wir werden sie am besten dadurch auch äußerlich zum Ausdruck bringen, wenn wir die Eigenschaft einer Menge, lauter innere Punkte zu besitzen, durch einen Namen charakterisieren, der zum Worte „abgeschlossen“ in Beziehung steht. Wir wollen die Punktmengen, die aus lauter inneren Punkten bestehen, offene Punktmengen nennen; dies können wir umso unbedenklicher tun, als wir später beweisen wer- den, daß eine Punktmenge nicht zu gleicher Zeit abgeschlossen und offen sein kann ($ 213), es sei denn, daß sie mit dem Giesamtraum iden- tisch ist.
Nach dieser Ausdrucksweise ist eine Umgebung eines Punktes P eine offene Punktmenge, die P enthält. Ebenso werden wir von Umgebungen einer beliebigen Punktmenge A sprechen: das sind die offenen Punktmengen, die A als Teilmenge enthalten.
55. Wir bezeichnen mit I das Intervall I: ,<a,<b, (k=1,2,...,%) und mit I die Punktmenge, welche durch die nn | I: ,<x,<b, (k=1,2,...,%)
$ 56 Ä Klassifizierung von Punktmengen 4
gegeben ist. Ferner bezeichnen wir mit H und H die Mengen, die aus den Häufungspunkten von J bzw. I bestehen; da I</ I ist, so ist auch
il) - H<H. Bezeichnet man mit (&,,..., &,) die Koordinaten eines Punktes P, der in der Komplementärmenge von I liegt, so muß von den 2n Größen
(a, — 8,), (&;— d,) mindestens eine positiv und von Null verschieden sein. Es sei h die größte unter diesen Zahlen, dann hat das Intervall
KW h<u<bth (k=1,2,...,n)
keinen einzigen Punkt mit I gemeinsam, d.h. P ist ein innerer Punkt der Komplementärmenge von I. Diese Komplementärmenge ist dem- nach offen und I ist eine abgeschlossene Punktmenge; es ist also
(2) H<I. Zweitens sieht man, daß, wenn P ein beliebiger Punkt von I ist, jedes Intervall J>, das P enthält, auch Punkte von I enthalten muß,
die von P verschieden sind, d. h., daß P ein Häufungspunkt von I ist; demnach ist
(3) I<H. Aus (1) und (2) folgt, daß H << I ist, und dies mit (3) verglichen gibt (4) T-H |
Der Vergleich von (1) und (3) gibt 7< H und dies liefert in Ver- bindung mit (2) DE (5) T-H.
Man kann die Gleichungen (4) und (5) folgendermaßen deuten: Ein beliebiges Intervall ZI ist eine offene Punktmenge, deren Häu- fungspunkte eine / enthaltende perfekte Punktmenge I bil- den; die Punktmenge I heißt ein abgeschlossenes Intervall.
Insbesondere hat aber auch unsere Untersuchung gezeigt, daB es perfekte Punktmengen gibt, was natürlich durch die Definition des vorigen Paragraphen noch nicht gewährleistet war. |
56. Man kann die Sätze des $ 50 auf abgeschlossene Inter- valle übertragen.
Satz 3. Haben zwei abgeschlossene Intervalle einen inneren Punkt gemeinsam, so ist ihr Durchschnitt wieder ein abgeschlossenes Intervall.
Der Beweis ist identisch mit dem oben gegebenen, nur daß man die Zeichen > und < durch > und < zu ersetzen hat.
42 Kap. l. Über Punktmengen 8 57
Satz 4. Jeder Punkt P eines Intervalls I ist Mittelpunkt eines ab- geschlossenen Würfels Q, der ganz in I enthalten ist.
Es seien (&,, &,...,&,) die Koordinaten des Punktes P und I: ,<2,<b, (k=1,2,...,n)
das gegebene (nicht abgeschlossene) Intervall. Nach Voraussetzung sind die 2» Zahlen (&,—a,) und (b,—8£,) alle positiv und von Null ver- schieden. Es sei h die kleinste unter ihnen; dann hat der abgeschlos- sene Würfel
h h 3,3 SuS Far: die gewünschte Eigenschaft.
Durch Kombination dieses letzten Resultates mit dem Satze 4 des 8 50 erhält man endlich:
Satz 5. Sind P und Q zwei vomeinander verschiedene Punkte, so kann man einen abgeschlossenen Würfel J finden, der P zum Mittel- punkte hat und Q nicht enthält. Ist außerdem P ein Punkt eines ge- gebenen Intervalls I, so kann man noch verlangen, daß der abgeschlossene Würfel J eine Teilmenge von I sei.
Überdeckungssätze.
57. Wir leiten jetzt einige Sätze ab, welche die Grundlage für das ‘weitere Eindringen in die Theorie der Punktmengen bilden.
Es sei _ I: asısb
ein abgeschlossenes lineares Intervall. Jedem Punkte P dieses Intervalls sei nun eindeutig ein (offenes) lineares Intervall ö> zugeordnet, das den Punkt P enthält. Dann gilt der Satz
Das abgeschlossene Intervall / läßt sich mit einer end- lichen Anzahl von Intervallen öd> völlig überdecken.
Mit anderen Worten: es gibt eine endliche Anzahl von Punkten
PP; Ps:::, Lo, 30 daß I <6ön+06p,+:-:-+6r, ist.
Wir wollen einen Punkt & von I erreichbar nennen, wenn der ausgesprochene Satz mindestens für das abgeschlossene Teilintervall as<z<ss$ richtig ist, und die Menge der erreichbaren Punkte untersuchen. Es wird zu beweisen sein, daß der Punkt x = b zu dieser Menge gehört.
$ 58 Überdeckungssätze 43
Nun ist diese Menge nicht leer; jeder Punkt & des Durchschnitts I-6, von I: a<z<b \
mit d, ist nämlich erreichbar. Andererseits ist nach Konstruktion für alle erreichbaren Punkte &<b; diese Zahlenmenge besitzt also eine obere Grenze ®© <b. Nach Definition der oberen Grenze darf kein Punkt x des Intervalles I, für welchen x > o ist, falls ein solcher Punkt existiert, erreichbar sein; dagegen gibt es für jedes positive % erreich- bare Punkte 5, für welche ©—h<& ist. Nun ist, wegen a<o<hb, der Punkto in I enthalten und es ist ihm nach Voraussetzung ein Intervall 6: oe —h<zi<o+k
zugeordnet. Wählt man einen erreichbaren Punkt £ zwischen (o— h) und © und bezeichnet mit d,, d,,..., 6, endlich viele der gegebenen In- tervalle ö>, deren Vereinigungsmenge "das Intervall a <x<E enthält, so wird die Vereinigungsmenge 6, +6, +---+6, +0,
alle Punkte des Intervalls a << © + k enthalten. Hieraus folgt aber, daß erstens & selbst erreichbar ist und zweitens, daß = b ist; denn wäre @ <b, so würden Punkte & von ZI im Intervalleo <r<o-+k liegen. Diese Punkte wären aber erreichbar, und es wäre für sie zu-
gleich > o, was der Konstruktion von © widerspricht. Also ist der Punkt b selbst ein erreichbarer Punkt, w. z. b. w.
58. Dieser Satz läßt sich durch den Schluß von n auf (n+1) auf mehrdimensionale Intervalle übertragen; der Wortlaut des Satzes wird dabei nicht geändert: Es sei I ein abgeschlossenes n-dimensionales In- tervall, und jedem Punkte P dieses Intervalls ein (n-dimensionales) In- tervall Öp zugeordnet, das P enthält. Es gibt dann endlich viele Punkte P,,P3,..., P, von I von der Eigenschaft, daß
I <0r,+02,+:--+06r, ist. Wir nehmen an, der Satz sei für (a —1) Dimensionen bewiesen, und betrachten die Punkte P des abgeschlossenen Intervalls I: ,<a,<b, (k=1,2,...,n) für welche A -
ist, wobei & irgendeine feste Zahl des linearen abgeschlossenen Inter-
44 Kap. 1. Über Punktmengen 8 58
valls a, <&<b, bedeutet. [Die Fig. 6 stellt die Konstruktion für den Falln= 2 dar.] Diese Punkte P werden auf gewisse Punkte P’ des (n — 1)-dimen- sionalen Raumes x,,2%,...,2,_, projiziert und die Gesamtheit der Punkte P’ erfüllt ein abgeschlossenes (n — 1)-dimensionales In- 2, tervall u J: ,<sa<b,.. (k=1,2,...,n—1))
b, b,b, Ebenso wird das Intervall d>, das ei- nem Punkte P zu- geordnet ist, aufein
(n — 1)-dimensiona- ODE DRS ZIIIITTIIHI a "%o, les Intervall d> pro- ne WIRKTE) x" BRETT
jiziert,dasdenPunkt P’ enthält.
a,! Nun kann man nach Voraussetzung eine endliche Anzahl von
7 Punkten PD; Pısasis:D,5 .., P,, finden, so daß, wenn man mit ö,,...,d,,...,6, ihre zuge-
ordneten (» — 1)-dimensionalen Intervalle bezeichnet,
IT <a ty 4-46,
ist. Wir kehren jetzt zu unserem n-dimensionalen Raume zurück, und betrachten die Punkte P,, deren (n— 1) erste Koordinaten mit denen von P, zusammenfallen und für welche außerdem z, = ist; die diesen Punkten zugeordneten Intervalle bezeichnen wir mit
6: N <E< PN (k=1,2,...,") und bemerken, daß die 2m Zahlen (8,9) und (Br —$) gel, 2,. ..,m)
alle positiv und von Null verschieden sind. Es sei 2%; die kleinste unter diesen Zahlen; dann muß jeder Punkt des n-dimensionalen abgeschlos- senen Intervalls IT, | ,S,Ssb, &
k=1,2,...,n—1 E-h,.<a,<$+h ( 7» ‚n ))
8:59 | Überdeckungssätze 45
in der Vereinigungsmenge | 40,4: +0, liegen. n.
Nun wenden wir den Satz des vorigen Paragraphen an: Wir haben jedem Punkte & des abgeschlossenen linearen Intervalls a <x,<b, ein lineares Intervall 8 — h.<x,< 8 + h, zugeordnet. Wir können also endlich viele Punkte &,,8,,.- ,$, finden, so daß das lineare Intervall a,<a,sb, durch die Vereinigung der Intervalle
h,<<i+t he, (k=1, 2,2435 9)
überdeckt wird. Dann ist aber auch für unser gegebenes n-dimensio- nales abgeschlossenes Intervall
I<BH,+H,+ +H, und da jedes der Intervalle H,, H,,..., H;, durch die Vereinigungs-
menge von endlich vielen d> überdeckt werden konnte, so gilt dasselbe von I.
59. Unser Resultat läßt eine weitere Verallgemeinerung zu, durch die es erst in brauchbarer Form erscheinen wird:
Überdeckungssatz von Borel. Ist jedem Punkte P einer abge- schlossenen und beschränkten Punktmenge A eine Umge- bung d> eindeutig zugeordnet, so kann man die ganze Punkt- menge A mit einer endlichen Anzahl dieser Umgebungen überdecken.
D.h. es gibt endlich viele Punkte P,, P,,.--, P„, so daß
e A<In+6r,+-:-+02, ist.
Die Punktmenge A ist beschränkt; man kann also ein Intervall ($ 52) und folglich auch ein abgeschlossenes Intervall I finden, das A in seinem Inneren enthält. Alle Punkte von = A)=IA4’ sind innere Punkte von A’, da die Komplementärmenge einer abgeschlossenen Menge nur aus inneren Punkten. besteht (8 54). Jedem Punkte Q von (T— A) kann man also ein Intervall yg zuordnen, das Q, aber keinen Punkt von A enthält. Den Punkten P von A kann man aber Intervalle ö> zuord- nen, die P enthalten und jedesmal Teilmengen der gegebenen Umgebungen öpr von P sind. Nach dem vorigen Satze kann man endlich viele Punkte Q,,Qs,---, Q, und P,,P,,..., P, von I finden, so daß
A<I<yatrat try td ton, + 402,
:46 Kap. I. Über Punktmengen 8 60 ist. Da nun die Intervalle yg keinen Punkt von A enthalten, ist A<önFt+6dr, +. +5, <dp+6n,t-- +6,
womit der Borelsche Satz bewiesen ist.
Die beiden Voraussetzungen der Beschränktheit und Abgeschlossen- heit der Menge A sind für den Satz aber notwendig: Jedem Punkte der beschränkten, aber nicht abgeschlossenen unendlichen Punkt- mengel, 3, 4,... oder jedem Punkte der abgeschlossenen, aber nicht beschränkten unendlichen Punktmenge 1,2,3,... kann man z. B. ein Intervall zuordnen, das nur ihn enthält, so daß also erst un- endlich viele Intervalle hinreichen, um die Menge zu überdecken.
60. Setzt man weder die Abgeschlossenheit noch die Beschränkt- heit der Menge voraus, so gilt aber wenigstens noch der folgende Über- deckungssatz:
Überdeekungssatz von Lindelöf. Ist jedem Punkte P einer be- liebigen Menge A eine Umgebung Ur zugeordnet, so kann man eine höchstens abzählbare Teilmenge P,, P,,... von A finden, so daß
A<U,+UR,+--- ist.
Die dem Punkte P zugeordnete Umgebung U? enthält ein Inter- vall, das P enthält; dieses Intervall enthält einen Würfel, der P zum Mittelpunkte hat ($ 50, Satz 3). Wenn man bewiesen hat, daß A sich mit abzählbar vielen solcher Würfel überdecken läßt, so ist damit erst recht bewiesen, daß es sich mit abzählbar vielen Umgebungen U? über- decken läßt. Jedem Punkte P der Menge A ordnen wir also einen Würfel W> zu, der P als Mittelpunkt enthält. (Wir können der Ein- deutigkeit halber festsetzen, daß W> der größte der ganz in U7> liegen- den Würfel sein soll, die P zum Mittelpunkte haben, da ein derartiger größter Würfel immer existiert, sofern Ur nicht identisch mit dem Ge- samtraum ist.) Die Seitenlänge von W7 sei ap.
Wir zerlegen jetzt die gegebene Punktmenge A in abzählbar viele Teilmengen A,, Ay,...,A,,.... Hierbei sei A, die Menge der Punkte von A, für welche ar >1 ist, ferner A, die Menge derjenigen Punkte, für welche 1 > ar > +, und allgemein A, die Menge derjenigen Punkte, für welche
1 1 FaıS®>%
ist; einige dieser Punktmengen A, können leer sein, aber jeder Punkt
8 61 Überdeckungssätze 47
von A ist in einer und nur einer dieser Mengen enthalten:
A=-A+At+At
Wenn man noch zeigt, daß man jede dieser Mengen A, mit endlich oder abzählbar vielen Würfeln Wr überdecken kann, so ist der Beweis ge- führt ($ 42). Zu diesem Zweck überdecken wir den ganzen Raum mit abzählbar unendlich vielen kongruenten Würfeln, deren Seiten gleich
3 sind ($ 51, Satz 5). Wir bezeichnen mit w,, w,,... die abzählbare Teilmenge ($ 39) dieser Würfel, die mindestens einen Punkt von A, ent- halten. Dann ist 4, <wtwtwt:;, und für jede natürliche Zahl 5 4,w,=+V0.
Nach dem Auswahlaxiom (8 48) kann man jeder dieser Punktmengen 4A,w, einen ihrer Punkte zuordnen. Der zu einem solchen Punkte P gehörende konzentrische Würfel W> überdeckt Bann den entsprechenden
Würfel w,, da die Seite des letzteren kleiner als = ist. Die Punkt-
menge A, ist somit von endlich oder abzählbar vielen Würfeln W7 und folglich von abzählbar vielen Umgebungen Ur überdeckt. Da die Vereinigungsmenge abzählbar vieler abzählbarer Mengen wieder ab- zählbar ist, so kann A selbst mit abzählbar vielen Umgebungen U überdeckt werden.
61. Der soeben bewiesene Satz kann im Falle, wo A beschränkt und die Umgebungen U, Würfel sind, die P zum Mittelpunkte haben, noch etwas verschärft werden. In diesem Falle gibt es nach dem Satze 5 des $ 51 nur endlich viele Hilfswürfel w,, w,,... und folglich in der abzählbaren Folge W,, W,,... von Würfeln, die A überdecken, nur endlich viele, die im Beweise des vorigen Paragraphen einem A, zu- geordnet sind. Es gibt also ebenfalls nur endlich viele dieser Würfel,
deren Seitenlänge größer als r ist, wo 9 eine beliebige natürliche Zahl bedeutet.
Hieraus folgt aber, daß man die W,, W,, ... nach absteigender Länge ihrer Kanten ordnen kann:
Satz. Ist jedem Punkte P einer beschränkten Punktmenge A ein Würfel Wr mit P als Mütelpunkt zugeordnet, so kann man die Punkt- menge A mit abzählbar vielen Würfeln W,, W,, ... überdecken, deren Sestenlängen Q,, Ay, ... die Relation a, > a,,, befriedigen.
48 Kap. I. Über Punktmengen 8 62. 63
Sätze über Häufungs- und Kondensationspunkte. 62. Satz 1. Jede nicht leere beschränkte Punktmenge ohne Häufungs- punkt besteht aus endlich vielen Punkten.
Wegen ihrer Beschränktheit liegt die Punktmenge A in einem ab- geschlossenen Intervall /. Um jeden Punkt P von I kann man, weil P nach Voraussetzung kein Häufungspunkt von A ist, eine Umgebung U> von P so bestimmen, daß U> entweder keinen einzigen Punkt von A oder nur den Punkt P allein enthält (853). Nach dem Borelschen Über- deckungssatz kann man nun endlich viele Punkte P,, Ps, ..., P„ 80 finden, daß =
I<Up,+Ur,+-: +0
A=AI=A(U2, +U2,+--:+7,,) ist. Die Punktmenge A besteht also nach der Konstruktion der Um- gebungen U? höchstens aus den endlich vielen Punkten P,, P,,-:-, P
Durch Umkehrung folgt hieraus:
Satz 2. Jede aus unendlich vielen Punkten bestehende ‚beschränkte Punktmenge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Ferner gilt der Satz:
Satz 3. Die Menge H, der Häufungspunkte einer Pumktmenge A ist abgeschlossen.
und folglich
Es ist zu beweisen, daß, wenn der Punkt P? Häufungspunkt von H, ist, er in der Punktmenge H, selbst enthalten ist. Jede Umgebung Ur von P enthält nach Voraussetzung mindestens einen Punkt Q von Hı; die Punktmenge U> ist aber zugleich auch ($ 52, Definition 3) eine Umgebung von ©. Sie muß also unendlich viele Punkte von A ent- halten und aus der Tatsache, daß letzteres für jede Umgebung von ? zutrifft, folgt, daß P, wie wir es beweisen wollten, ein Häufungspunkt von A ist.
63. Satz 4. Jede Punktmenge A, die keinen in ihr liegenden Kon- densationspunkt besitzt, ist endlich oder abzählbar und hat also überhaupt keinen Kondensationspunkt.
Um jeden beliebigen Punkt P der Punktmenge A kann man, weil P kein Kondensationspunkt von A ist, eine Umgebung U, von P so bestimmen, daß die Punktmenge UA aus höchstens abzählbar vielen Punkten besteht. Nach dem Lindelöfschen Überdeckungssatz (8 60) kann man nun A mit höchstens abzählbar unendlich vielen derartigen Um-
8 63 Sätze über Häufungs- und Kondensationspunkte 49
gebungen überdecken. Die Punktmenge A erscheint dann als Vereini- gungsmenge von abzählbar vielen abzählbaren Mengen und ist folglich selbst abzählbar, falls sie nicht endlich ist ($ 43, Satz 3).
Durch Umkehrung dieses Satzes erhält man: Satz 5. Jede nicht abzählbare Punktmenge enthält mindestens einen ihrer Kondensationspunkte.
Ist daher A eine nicht abzählbare Punktmenge und (, die Menge ihrer Kondensationspunkte, so ist der Durchschnitt AC, von A und (, nicht leer. Die Punktmenge (A— AC,), die auch leer sein kann, besitzt keinen einzigen Kondensationspunkt; denn sie ist eine Teilmenge von A und ihre Kondensationspunkte müßten daher alle in CO, enthalten sein, d.h. in einer Punktmenge, die mit (A— AC,) keinen einzigen gemein- samen Punkt besitzt. Nach Satz 4 ist also (A— AC,) eine abzählbare Punktmenge.
Für jede Umgebung T7 eines beliebigen Punktes P desRaumes ist nun (1) AU,-= AC,AU, + (A— ACQ,)UD>; die Punktmenge (A— AC,)U> ist als Teilmenge von (A— AC,) ab- zählbar. Ist nun AC',U> ebenfalls eine abzählbare Punktmenge, so muß also nach (1) dasselbe auch von der Punktmenge AU? gelten und hieraus folgt, daß P dann kein Kondensationspunkt von A sein kann.
Wenn dagegen P ein Kondensationspunkt von A ist, d. h. wenn P in C, enthalten ist, so muß also für jede Umgebung U von P die Punkt- menge AC,U?r aus nicht abzählbar unendlich vielen Punkten bestehen, d.h. der Punkt P ist auch Kondensationspunkt von AC,. Da nun aber anderseits jeder Kondensationspunkt von AC, in C, enthalten sein muß, weil AC, eine Teilmenge von A ist, sehen wir, daß die Punkt- mengen A und AC, dieselben Kondensationspunkte besitzen.
Satz 6. Bezeichnet man mit Ö, die Menge der Kondensationspunkte einer nicht abzählbaren Punktmenge A, s0 ist:
a) die Punktmenge ACı ebenfalls nicht abzählbar und die Menge ihrer Kondensationspunkte identisch mit CA,
b) die Punktmenge (A— AC,) leer oder höchstens abzählbar.
Aus dem Satz 6 a) entnimmt man, daß jeder Punkt von AC/, Kon- densationspunkt von AC, ist, und daß folglich umsomehr die Punkt- menge AÜ, in sich dicht ist. Jede nicht abzählbare Menge ent- hält also eine in sich dichte Teilmenge und die Punktmengen, die wie die Menge der Zahlen
es keine in sich dichte Teilmenge enthalten, sind alle abzählbar. Carathsodory, Beelle Funktionen. 4
50 Kap. L Über Punktmengen 8 64. 66
Ebenso sieht man, daß die Menge Ü, der Kondensationspunkte von A in sich dicht ist; denn jeder Punkt von C, ist Kondensations- punkt und folglich auch Häufungspunkt von AC,, d. h. einer Punkt- menge, die in C, enthalten ist.
Anderseits kann man durch dieselbe Schlußweise, wie beim Satze 3, einsehen, daß die Punktmenge Ü, abgeschlossen ist. Ist nämlich P ein Häufungspunkt von C\, so enthält jede Umgebung U> von P mindestens einen Punkt Q, der zu C, gehört und da Ur auch Umgebung von Q ist, so kann nach der Definition der Kondensationspunkte die Punktmenge UA nicht abzählbar sein. Also ist P selbst ein Kondensationspunkt von A und folglich in C, enthalten. Da die Menge C, der Kondensa- tionspunkte von A sowohl in sich dicht als auch abgeschlossen ist, gilt der |
Satz 7. Die Menge C, der Kondensationspunkte einer nicht abzähl- baren Punktmenge A ist perfekt.
64. Ist eine Punktmenge A abgeschlossen und nicht abzählbar, so ist die Menge CO, ihrer Kondensationspunkte, als Teilmenge der Menge H, ihrer Häufungspunkte, eine Teilmenge von A und es bestehen die Glei-
chungen AC,h=C, und (A—-AQ)=A— C,.
Der Vergleich mit den Sätzen 6 und 7 liefert uns dann unmittelbar den Cantor-Bendixonschen Satz, der folgendermaßen lautet:
Satz 8. Jede abgeschlossene Punktmenge ist abzählbar oder perfekt oder die Summe einer abzählbaren und einer perfekten Punktmenge.
Es ist leicht, Beispiele von nicht abgeschlossenen Punktmengen zu geben, die weder abzählbar noch perfekt sind und die sich nicht als Summe einer perfekten und einer abzählbaren Punktmenge darstellen lassen: z. B. das lineare Intervalla <x<<b. Dies Intervall / ist weder abzählbar noch perfekt. Ist ferner 7’ eine beliebige perfekte Teilmenge von I, so enthält die offene Komplementärmenge 7’ von 7 den Punkt a und die Punktmenge I — 7 = IT’ ist eine offene Punktmenge, die min- destens ein Intervall enthält, das a zum Endpunkte besitzt; sie kann demnach nicht abzählbar sein.
65. Es ist sehr merkwürdig, daß man den Satz 7 (863) in gewisser Hinsicht umkehren kann:
Satz 9. Jede perfekte Punktmenge ist nicht abzählbar und identisch mit der Menge ihrer Kondensationspunkte.
$ 65 Sätze über Häufungs- und Kondensationspunkte 51:
Ist A perfekt, also abgeschlossen, so ist O4 <A.
Man braucht also nur zu zeigen, daß jeder Punkt von A in ©, enthal- ten ist, oder daß, wenn P ein Punkt von A ist und wenn ]z ein Inter- vall bezeichnet, das P enthält, die Punktmenge 1-4 nicht abzählbar ist. Dies läßt sich ganz ähnlich beweisen ,‚ wie die Nicht- Abzählbarkeit des Intervalls 846). .
Da P Häufungspunkt von A ist, enthält I, p4 unendlich viele Punkte. Wir nehmen an, daß diese eine abzählbare m. Ä
(1) | LA=P,+P,+-+P, +
bilden. Da P, und P, verschiedene Punkte sind, die in = ja so kann man um p, als Mittelpunkt einen abgeschlossenen Würfel W, kon- struieren, der m Ip liegt und P, nicht enthält (8 56, Satz 5). Da nun nach Voraussetzung die Punktmenge A in sich dicht ist und folglich der Mittelpunkt P, von W, Häufungspunkt von A ist, gibt es sicher im Innern des (offenen) Würfels W, Punkte von A, die von P, ver- schieden sind; unter diesen, die eine Teilmenge von (1): bilden, sei P, der mit dem. kleinsten Index ($15, Satz5). Um P,, als Mittelpunkt legen wir einen abgeschlossenen Würfel W,, der in w, enthalten ist und den Punkt P, nicht enthält. Der Mittelpunkt I: des WürfelsW, ist dann der erste Punkt der Reihe (1), der in W, enthalten ist; außer- dem sieht man, daß m, >2 ist. Mit P,, heseichnen wir den ersten Punkt der Reihe (1), der im Innern von W, liegt und von P,, ver- schieden ist; ein solcher Punkt existiert immer, weil P,, (ebenso wie oben P,) Häufungspunkt von A ist. Um P, als Mittelpunkt legen wir wieder einen abgeschlossenen Würfel W,, der in W, enthalten ist und P,, nicht enthält. |
Indem wir auf diese Weise fortfahren, erhalten wir eine Folge von ineinandergeschachtelten abgeschlossenen Würfeln ee |
Pe |
(2) w>W,>W,>---, deren respektive Mittelpunkte (3) | PD Pas Don Ems * >
folgende Eigenschaften haben:
a) der Punkt P,, ist der erste Punkt der Reihe (1), der inW, vorkommt; | b) der Punkt P,„, Kommt in dieser Reihe später als #, ‚nor, d. b
es ist stets m, > k. 4*
52 | Kap. I. Über Punktmengen $ 66. 67
Die Punktmenge {P,,, Pa, ; - .} besteht dann aus unendlich vielen von- einander verschiedenen Punkten, die alle in I> liegen; sie hat also min- destens einen Häufungspunkt 2 ($ 62, Satz 2). In jeder Umgebung Ua von & liegen unendlich viele von den Punkten P,„_,P.,,..., also un- endlich viele, die in der Folge (3), bei fest gewähltem %, später als P,, vorkommen. Da diese Punkte dann auch in W, vorkommen müssen, ist & Häufungspunkt von W, und dann auch (weil W, abgeschlossen ist) in W, enthalten. Hieraus folgt, daß X in jedem W, enthalten ist und also nicht unter den Punkten der Reihe (1) vorkommen kann, von denen jeder, wegen der Eigenschaften a) und b) von W, nur in endlich vielen W, enthalten sein kann. Anderseits aber sind die P,, lau- ter Punkte von A; der Punkt 2% ist also Häufungspunkt von A, und weil A perfekt ist, in A enthalten. Da endlich ® <W, < I ist, können die Punkte von /p A entgegen der Voraussetzung keine abzählbare Menge bilden.
66. Betrachtet man die Menge M, der Häufungspunkte und C, der Kondensationspunkte einer beliebigen Punktmenge A, so kann man vier neue Punktmengen bilden. Die Menge Hz der Häufungspunkte von Häufungspunkten, die Menge Oz der Kondensationspunkte von Häufungs- punkten, und endlich die Mengen 4. und Ü. von Häufungs- und Kon- densationspunkten der Kondensationspunkte (,.
Es folgt aus der Definition (1) C4 2% HB, , und weil HM, abgeschlossen ist ($ 62, Satz 3) OÖ <Hr<Hı. Nun ist aber C, perfekt (8 63, Satz 7) und, wegen des Satzes 9, Cc = H. an Ca; anderseits hat man wegen (1) Oc< Cr oder, wenn man alles miteinander vergleicht,
C=Hre=0(u<Ca<Ha<H,.
Häufungspunkte von Durchschnitts- und Vereinigungsmengen.
67. Sind A,, As, . .. endlich oder abzählbar unendlich viele Punkt- mengen und D) ihr Durchschnitt, und betrachtet man die Menge H, der Häufungspunkte von D, so liegt nach Voraussetzung in jeder Um- gebung U, eines Punktes P von H» ein von P verschiedener Punkt Q
8 68 Häufungspunkte von Durchschnitts- und Vereinigungsmengen 53
der Menge D. Dieser Punkt © ist aber als Punkt von D auch Punkt jeder beliebigen unter den Punktmengen A,; also ist P Häufungspunkt von A, und folglich in der Menge H,, dieser Häufungspunkte enthalten. Da dicnes für jedes k gilt, ist P ein Punkt des Durchschnitts aller 7, und also Hp» eine Teilmenge dieses Durchschnitts:
(1) Hy» < HıHıH......
Es braucht aber natürlich, selbst wenn nur endlich viele Punkt- mengen A; gegeben sind, Z/» nicht identisch mit dem Durchschnitte der H,, zu sein. Sind z.B. A, und :A, zwei abgeschlossene lineare Inter- valle, die einen einzigen gemeinsamen Punkt. P besitzen, so ist Hp leer, wogegen MH, H,, den Punkt P enthält.
68. Ist V=4+4+4,+---
die Vereinigungsmenge von endlich oder abzählbar unendlich vielen Punktmengen und wird mit Hy, die Menge der Häufungspunkte von 7 bezeichnet, so ist, wie man sofort sieht, jeder Häufungspunkt P von 4;
auch Häufungspunkt von V, oder in Zeichen
(2) Hy>Ha+H,+H,+---
Sind die A, in unendlicher Anzahl, so kann es Punkte von Hy geben, die nicht in der Vereinigungsmenge der H,, liegen. Bestehen z. B. die A, aus einem einzigen Punkte mit rationalen Koordinaten und sind alle rationalen Punkte in Y vertreten, so sind die ZH, alle leer ud dasselbe gilt von der Vereinigungsmenge
Hy+ Hut; jeder Punkt des Raumes ist dagegen in Hy enthalten. Sind aber die A, in endlicher Anzahl, so ist immer
(3) . Hyr=H,+Hatr: +Hu wenn
VA As,
ist. Diese Relation braucht nur im Falle von zwei Punktmengen A, und A, bewiesen zu werden; sie kann dann ohne weiteres, mit Hilfe des Schlusses von » auf (n-+ 1), verallgemeinert werden.
Es sei also VY=A,+4, und P sei ein Punkt von Hy. Ich be- haupte, daß P entweder in ZH, oder in ZH, enthalten ist. Wäre näm- lich P weder in der einen noch in der andern dieser Punktmengen ent- halten, so würde es zwei Intervalle I, und /, geben, die beide P ent-
54 2. Kap.I. Über Punktmengen 8 69
ee ST
halten und die so: bestimmt werden können, daß I, außer vielleicht P keinen Punkt von A, und I, außer eventuell P keinen Punkt von A, enthält. Dann würde das Intervall I= II, (850, Satz 1) den Punkt P, aber keinen von P verschiedenen Punkt von V enthalten, d.h. P wäre entgegen der Voraussetzung kein Punkt von Hy. Es ist also H,<H,+H,i und, wegen (2), H,=H,+ Ha:
69. Satz 1. Der Durchschnitt vom endlich oder abeählbar unendlich vielen abgeschlossenen Punktmenyen ist leer oder abgeschlossen. Es seien A,, A,,... abgeschlossene Punktmengen, d.h. H,, < 4:. ‚Hieraus folgt ($ 41) HH: -<AAy =D und, wegen (1), 8 67:
: Satz 2, Sind die night leeren Punktmengen A,, A,, . . - abgeschlossen und ineinandergeschachtelt A>A>A>--,
ist außerdem A, beschränkt, so ist der Durchschnitt D dieser Punktmengen nicht leer.
Der Satz bedarf nur dann eines Beweises, wenn die Punktmengen A, in unendlicher Anzahl vorhanden sind. Wäre nun der Durchschnitt D aller A, leer, so könnte man jedem Punkt P von A, eine kleinste Zahl kp zuordnen, so daß die Punktmenge A,, unserer Folge den Punkt P nicht enthält. Da ferner A,, abgeschlossen ist, so ist die Komplemen- tärmenge Ar, von A;, eine Umgebung von P ($ 54, 52). Nach dem Borelschen Überdeckungssatz kann man hierauf die beschränkte und abgeschlossene Punktmenge A, mit einer endlichen Anzahl dieser Umgebungen überdecken. D.h. man kann endlich viele ganze Zahlen Kıskoay. -, k,, finden, so daß jeder Punkt von A, in mindestens einer der Komplementärmengen von An, Ars: - > At liegt. Es sei k die größte unter den Zahlen k,,Äy,. . ., Km; dann ist A, eine Teilmenge von jeder der Mengen A, , Ar., ---, Ar ‚ weil die gegebenen Mengen A,,A,.- ineinandergeschachtelt waren. Die Komplementärmenge A; von A; ent- hält also jede einzelne unter den Komplementärmengen von A, ,Ar,,.. „Az, und folglich nach unserer Konstruktion auch A, selbst. Es müßte da- nach der Durchschnitt A, A, leer sein, und dies ist im Widerspruch mit der Voraussetzung, daß A, nicht leer und eine Teilmenge von A, ist.
8.70 Häufungspunkte von Durchschnitts- und Vereinigungsmengen 55
Ohne die Voraussetzung, daB A, (oder allgemeiner, daß mindestens eine der Punktmengen A,) beschränkt sein soll, hätten wir unseren Satz nicht beweisen können. Die linearen Punktmengen
A,: ksze (k=1,2,...) sind abgeschlossen und ineinandergeschachtelt, ihr Durchschnitt ist aber leer.
Satz 3. Die Vereinigungsmenge von endlich vielen abgeschlossenen Punktmengen ist abgeschlossen. In der Tat folgt aus H,=H,+YH,+' +H.
Hu< 4, (k=1,2,...,m)
und aus
daß auch H,<V
ist, d. h. daB V eine abgeschlossene Punktmenge ist.
Dagegen braucht die Vereinigungsmenge von unendlich vielen ab- geschlossenen Punktmengen nicht abgeschlossen zu sein; die rationalen Punkte des Raumes bilden z. B. eine nicht abgeschlossene Punktmenge, die als Vereinigungsmenge von abzählbar unendlich vielen Mengen, die aus einem einzigen Punkte bestehen, also abgeschlossen sind, angesehen
werden kann. v
«0. Satz 4. Die Vereinigungsmenge V=-4+4+--:
von endlich oder abzählbar unendlich vielen in sich dichten Mengen ist in sich dicht.
Der Satz folgt direkt aus (2), $ 68 und aus der. VO daß für jeden Wert von k 5 Hu, > A: 18t.
Satz 5. Der Durchschnitt einer offenen und einer in sich dichten Punktmenge ist in sich dicht, sobald er nicht leer ist.
Ist A eine offene, B eine in sich dichte Punktmenge und P ein Punkt von AB, so gibt es ein Intervall J>, das P enthält und in A ent- halten ist. Ist dann /> ein beliebiges Intervall, das P enthält, so hat das Intervall I>Jr dieselbe Eigenschaft. Da B in sich dicht ist, gibt es in Ir Jr einen von P verschiedenen Punkt Q, der in B und folglich,
56 Kap. I. Über Punktmengen 8 71
da I < A ist, in n AB enthalten ist. Also ist P Häufungspunkt von AB und die Panktmenge AB in sich dicht. Erinnert man sich an die Definition der perfekten Punktmengen ($ 54), so folgt aus unseren Sätzen 3 und 4:
Satz 6. Die Vereinigungsmenge von endlich vielen nerfekt Punkt- mengen ist perfekt.
Dagegen braucht weder der Durchschnitt von zwei, noch die Ver- einigungsmenge von unendlich vielen perfekten Punktmengen perfekt zu sein. Betrachtet man z. B. die perfekten linearen Punktmengen
; | An: ee t, eu (n=1,2,...) so besteht der Durchschnitt Au- ‚A, aus dem einzigen Punkt 1:% und die Vereinigung A, + A, +--- kann geschrieben werden O<r<1; die beiden letzten Panktmengen sind aber nicht perfekt.
‘1. Um die analogen Sätze über offene Punktmengen abzuleiten, benutzen wir die Tatsache, daß die Komplementärmenge einer offenen Punktmenge abgeschlossen ist.
Sind A,, A,, -.. offene Punktmengen, A,’, A,,... ihre Komple-
mentärmengen, so ist ($ 40) A, +4,+- = (4'444: ..).
Nach Satz 1 ist A,’A, A, ... abgeschlossen oder leer; wir haben also den .
Satz 7. Die Vereinigungsmenge von endlich oder abzählbar unendlich vielen offenen Punktmengen ist offen.
Ähnlich entnehmen wir aus
A,4A,...4A,= (Ar + At. +4,)
mit Hilfe des Satzes 3
Satz 8. Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Punktmengen ist offen, falls er nicht leer ist.
Dagegen kann man über den Durchschnitt von abzählbar unendlich vielen offenen Punktmengen keine so einfache Aussage machen. Es. ist leicht, Beispiele zu bilden, bei denen dieser Durchschnitt leer ist
A: 0<a<],
oder aus isolierten Punkten besteht
a 1 1 A: = er <Xx < >
$ 72.73 Häufungspunkte von Durchschnitts- und Vereinigungsmengen 57
oder perfekt ist A: — = <re<1l+ — u. s. f. (vgl. hierzu den $ 81).
42. Satz 9. Ist A eine beliebige Punktmenge und HL, die Menge ihrer Häufungspunkte, so ist (A + H,) abgeschlossen; ist A in sich dicht, so ist (A+ HL) perfekt. Die Punktmenge n + H,) nennen wir die ab- geschlossene Hülle von A.
Setzt man (1) | B=A+4H, und bezeichnet man mit Hz die Häufungspunkte von H,, so ist, weil H, abgeschlossen ist,
Haz< AH, und folglich nach der Gleichung (3) des $ 68 (2) IBR=H,+Hzı=HL<B;
ist aber A in sich dicht, d.h. A< A,,so ist nach (1) B= H, und folglich nach (2) M=B.
Die Wichtigkeit des Begriffs der abgeschlossenen Hülle einer Punkt- menge A wird durch folgenden Satz hervorgehoben:
Satz 10. Die abgeschlossene Hülle (A+ H,) einer beliebigen Punkt- menge A ist die kleinste abgeschlossene Punktmenge, die A als Teilmenge enthält.
Wir bezeichnen mit B eine beliebige abgeschlossene Punktmenge, die A als Teilmenge enthält. Man hat dann die Beziehungen (3) A<B ud H;<B;
aus der ersten dieser Relationen a a< H; und die zweite zeigt hierauf, daß
(4) H,<PB ist. Der Vergleich von (3) mit (4) liefert dann A+Hı<B,
womit unsere Behauptung bewiesen ist. (Vgl. hierzu die $$ 213—215.) 73. Man kann abzählbar unendlich viele Punktmengen
(1) : Yıs Pa» 37 - -- ein für allemal so definieren, daß jede offene Punktmenge des n-di-
58 Kap. I. Über Punktmengen $ 74
PAS BEESNESEE L EE NEEILE DER nn
mensionalen Raumes als Vereinigungsmenge von Mengen, die eine Teilfolge von (1) bilden, angesehen werden kann. Durch Bildung von Komplementärmengen kann man dann jede abgeschlossene und also auch jede perfekte Punktmenge aus den Mengen der Folge (1) ableiten.
Die Wahl der „Grundmengen“ y, ist natürlich in hohem Grade willkürlich; man kann z.B. festsetzen, daß die y, lauter Würfel sind, deren Mittelpunkte rationale Koordinaten besitzen und deren Kanten. längen
erg (p=1,2,3,...) sind und sämtliche Würfel dieser Art in die Folge (1) aufnehmen. Nach den $$ 45 u. 42 bilden nämlich diese Würfel wirklich eine abzählbare Menge.
Es sei nun A eine beliebige offene Punktmenge und P ein Punkt von A; es gibt dann einen Würfel W, der P zum Mittelpunkt bat, ganz in A liegt, und dessen Kantenlänge 1:m ist. Man nenne W, den zu W konzentrischen Würfel, dessen Kantenlänge 1:2 m ist, und Q sei ein be- liebiger Punkt mit rationalen Koordinaten, der im Inneren von W, liegt. Der Würfel W,, der @ zum Mittelpunkte hat und dessen Kanten- länge 1:2 m ist, ist einerseits in W, also auch in A enthalten, anderseits enthält er aber auch P in seinem Inneren. Der Würfel W, ist aber in unserer Folge (1) enthalten; es gibt also Mengen in dieser Folge, die zugleich Teilmengen von A und Umgebungen von P sind.
Bezeichnen wir also der Reihe nach mit y,,7,,-- Hieenikn Würfel der Folge (1), die in _A enthalten sind, so liegt jeder Punkt » von 4 in der Vereinigungsmenge
V= In, + Ft 3: umgekehrt ist aber V eine Teilmenge von A und man hat daher V= A, wie wir zeigen wollten.
Die soeben geschilderte Konstruktion behält ihre Gültigkeit, wenn wir jeden der Würfel y,, die wir benutzt haben, durch seine abge- schlossene Hülle y, ersetzen.
Wir sehen hieraus, daß man jede offene Punktmenge als Vereinigungsmenge von abzählbar unendlich vielen abge- schlossenen — und sogar perfekten — Punktmengen dar- stellen kann.
Relativbegriffe.
74. Von einer Teilmenge A: einer gegebenen Punktmenge 5 sagt man, daß sie auf S (oder relativ zu S) abgeschlossen ist, wenn
8 74 Relativbegriffe 59
ee
punkte von Ain A enthalten ist; es soll m. a. W. sein: (1) HS <A<S.
Die relative Abgeschlossenheit einer Punktmenge unterscheidet sich also lediglich dadurch von der gewöhnlichen (8 54), daß man die Häu- fungspunkte von A, die in $ enthalten sind, allein berücksichtigt.
Wir bezeichnen mit A die abgeschlossene Hülle von A; dann ist wegen (1) e
AS=(A+H)S=A4,
d. h. eine Punktmenge A, die auf $ abgeschlossen ist, ist der Durch- schnitt von $ mit ihrer abgeschlossenen Hülle A. Ist anderseits .B eine abgeschlossene Punktmenge, d.h. ist
(2) H5<B, und setzt man | (3) | A=BS, so folgt zunächst aus (3)
H,ı<Hs und daher nach (2)
H,<DB. Also ist auch
H\S<BS=4A,
d.h. A ist abgeschlossen auf $. \
Satz 1. Dafür, daß eine Punktmenge A auf einer gegebenen Punkt- menge S abgeschlossen sei, ist notwendig und hinreichend, daß A der Durch- schnitt von S mit einer abgeschlossenen Punktmenge sei; dann ist auch stets
A gleich dem Durchschnitt von S mit der abgeschlossenen Hülle A von A.
Es seien A,, A,,... endlich oder abzählbar unendlich viele Punkt- mengen, die auf $ abgeschlossen sind, A,, A,, . . . ihre abgeschlossenen Hüllen. Aus
folgt
A,=4S, 4,=Ä4,S,...
4A,4,:::=S(4,A,...) und nach dem Satze 1 des $ 69 sieht man, daß auch der Durchschnitt
A,A, ... auf S abgeschlossen sein muß. Ganz ähnlich beweist man den zweiten Teil des folgenden Satzes.
Satz 2. Der Durchschnitt von endlich oder abzählbar unendlich vielen und die Vereinigung von endlich vielen Punktmengen A,, die auf S abge- schlossen sind, sind ebenfalls auf S abgeschlossene Punktmengen.
60 _ Kap. I Über Punktmengen 8 75
A dem Satze 1 folgt ferner, daß wenn $ selbst abgeschlossen ist, jede auf $S abgeschlossene Punktmenge, als Durchschnitt von zwei ab- geschlossenen Punktmengen, ebenfalls im gewöhnlichen Sinne abge- schlossen sein muß.
Satz 3. Jede Punktmenge A, die auf einer abgeschlossenen Punkt- menge S abgeschlossen ist, ist eine abgeschlossene Teilmenge von 8.
75. Von einer Punktmenge A wollen wir sagen, daß sie auf S (oder relativ zu S) offen ist, wenn A eine Teilmenge von 8 und ($— A) auf S abgeschlossen ist. Ist A offen auf S, so ist
8 — 4)-—
wobei B nach dem ersten Satze des vorigen Paragraphen eine abge- schlossene Punktmenge bedeutet. Nun ist die Komplementärmenge B’
von B offen und A=S—-(S-A)=8S—- BS=BS
der Durchschnitt einer offenen . Punktmenge B’ mit $. Ist umgekehrt A=U.S,
wo U eine offene Punktmenge bedeutet, so ist die Komplementärmenge U’ von U abgeschlossen und
S—-A=S8S- US=-U’S eine auf S abgeschlossene Punktmenge.
Satz 4. Dafür, daß eine Punktmenge A offen auf einer Punktmenge 8 liege, ist notwendig und hinreichend, daß A der Durchschnitt von S mit einer offenen Punktmenge sei.
Man sieht ebenso, wie im vorigen Paragraphen, daß die Vereini- gung von endlich oder abzählbar unendlich vielen und der Durchschnitt von endlich vielen Punktmengen, die auf $ offen sind, ebenfalls auf S offene Punktmengen sein müssen; und daß, wenn S selbst eine offene Punktmenge ist, jede Punktmenge 4A, die auf S offen liegt, ebenfalls eine im gewöhnlichen Sinne offene Punktmenge sein muß.
Beispiele von relativ abgeschlossenen und relativ offenen Punkt- mengen:
1. Die lineare Punktmenge 0 <x<1 ist abgeschlossen auf dem Intervall O<x2<2. |
2. Die lineare Punktmenge O<xr<1 ist offen auf dem abge- schlossenen Intervall O<zr< 2
8 76 Überall dichte und nirgends dichte Punktmengen 61
Überall dichte und nirgends dichte Punktmengen.
76. Definition. Ist S eine gegebene Punktmenge, so heißt eine beliebige Punktmenge A überall dicht auf S, wenn jeder Punkt von $S Häufungspunkt des Durchschnitts AS ist, oder in Zeichen, wenn | (1) S<Hıs ist. |
Danach liegen z. B. die rationalen Punkte des »-dimensionalen Raumes überall dicht auf jedem offenen oder abgeschlossenen Intervall dieses Raumes.
Da AS eine Teilmenge von $ ist, ist
(2) 'Hıs<JHs, also muß nach (1) (3) | S < Hs ’
d.h. die Punktmenge $S muß notwendig in sich dicht sein. Die abgeschlossene Hülle von S T=S+Hs
ist dann, nach dem Satze 9 des $ 72 eine perfekte Punktmenge und man hat:
Ist P irgend ein Punkt von T, so ist P nach (4) Häufungspunkt von S, also nach (1) Häufungspunkt von H4s, und da diese letzte Punkt- menge abgeschlossen ist, ist P ın 7,s enthalten; wir haben mithin:
T< Hıs ’ Nun folgt aber aus S<T, daß auch AS< AT und daß Hıs<Hır ist; also ist auch T< H, Ty
d.h. die Punktmenge A ist überall dicht auf T.
Satz 1. Jede auf einer beliebigen (in sich dichten) Punktmenge S über- all dichte Punktmenge A ist auch auf der (perfekten) abgeschlossenen Hülle von 8 überall dicht.
Ferner gilt folgender Satz: Satz 2. Sind A,, A,,... und S,, S,,. . . beliebige Punktmengen in endlicher oder absählbarer Anzahl gegeben, und ist für jedes in Betracht
62 Kap. I. Über Punktmengen 8 77 kommende k die Punktmenge A, überall dicht auf S,, selet man ferner A=A+4,+4+--- S=-8+8,+S5,+---,
so ist A überall dicht auf 8. Setzt man in der Tat = 4,8, + 4,5 + 4,8 + en =, AS=AS, +48, +48, +- >Y, Hıs> Hr. Anderseits ist nach der Relation (2) des 8 68
Hy>H,s,+Has+°. und nach Definition Hs > S,-
so ist
also
Also ist schließlich Hıs > Ss +8 +. -S,
womit die Behauptung bewiesen ist.
77. Ist A überall dicht auf S, so liegt in jeder Umgebung U eines Punktes P von S nach Definition mindestens ein Punkt von AS, der von P verschieden ist und diese Bedingung ist hinreichend, dafür, daß A überall dicht auf $ sei. Benutzt man aber die Eigenschaft von S, in sich dicht zu sein, die wir als notwendig erkannt haben, so genügt es zu verifizieren, daß Up überhaupt einen Punkt von AS enthält, um schließen zu können, daß A überall dicht auf S ist.
Weil nämlich $ in sich dicht ist, gibt es dann in Ur einen von P verschiedenen Punkt Q von S und man kann eine Umgebung U, von © finden, die P nicht enthält und Teilmenge von Ur ist. Diese Punkt- menge U, enthält nach Voraussetzung mindestens einen Punkt P,, der in AS liegt; dann ist P, + P und in AST, enthalten, d.h. P ist Häufungspunkt von AS.
Satz 3. Dafür, daß die Punktmenge A auf der in sich dichten Punkt- menge S überall dicht liege, ist notwendig und hinreichend, daß jede Um- gebung Ur eines beliebigen Punktes P von S mindestens einen Punkt von AS enthält. |
1)
8 78 Überall dichte und nirgends dichte Punktmengen 63
Jetzt beweisen wir den Satz:
Satz A. Der Durchschnitt AB einer offenen Punktmenge A und einer beliebigen Punktmenge B, die beide überall dicht auf S sind, ist ebenfalls überall dicht auf 8.
Es sei P ein beliebiger Punkt von $ und U, eine Umgebung von P. Da die Punktmenge A überall dicht auf $ ist, ist Up AS nicht leer und die Punktmenge UA enthält mindestens einen Punkt Q von $S. Nun ist UrA, weil A offen ist, ebenfalls eine offene Punktmenge und somit eine Umgebung U, von Q. Also kann, mel B überall dicht auf 8 ist,
die Punktmenge UBS = U,ABS
nicht leer sein und Ur enthält mindestens einen Punkt von ABS. Anderseits ist $ notwendig in sich dicht, so daß, nach dem rongen Satze, AB überall dicht auf S liegen muß.
78. Aus dem soeben bewiesenen Satze folgt ohne weiteres, daß der Durchschnitt von endlich vielen offenen Punktmengen, die sämtlich überall dicht auf $ sind, ebenfalls überall dicht auf $S sein muß. Für den Durchschnitt von abzählbar unendlich vielen Punktmengen ist dies keineswegs immer der Fall, wie folgendes Beispiel zeigt.
Es seien r,, ?,, ... die rationalen Punkte des Raumes und man setze $ gleich der Summe aller dieser rationalen Punkte und A, gleich der Komplementärmenge des Punktes r,; dann sind die A, offene, auf S überall dichte Punktmengen und der Durchschnitt A,A,A, ... aller Punktmengen A, hat keinen Punkt mit $S gemeinsam und ist also nicht überall dicht auf $. |
Um so interessanter ist folgender für die Anwendungen wich- tiger Satz:
Satz 5. Sind die absählbar unendlich vielen Punktmengen A,,4,,--- alle offen und überall dicht auf einer Punktmenge S, die perfekt oder offen oder allgemeiner der Durchschnitt TU einer perfekten Punktmenge T und einer offenen Punktmenge U ist, so ist der Durchschnitt
(1) D= A, AA; -- dieser Punktmengen ebenfalls überall dicht auf 8.
Es sei P ein Punkt von S= TU und U; eine beliebige Umgebung von P. Nach Voraussetzung enthält U, einen Punkt Q, von A,S und es existiert dann auch, weil A, und U offene Punktmengen sind, ein
64 Kap. I. Über Punktmengen 8 79
abgeschlossener Würfel W,, der Q, zum Mittelpunkte hat und i inA,UU, enthalten ist: _ (2) W,<A,UU,.
Der offene Würfel W,, der aus den inneren Punkten von W, besteht, ist eine Umgebung von @, und enthält daher mindestens einen Punkt Q,, derin A,S enthalten ist; wir können dann, weil nach Voraussetzung A, eine offene Punktmenge ist, einen abgeschlossenen Würfel W, finden, der Q, zum Mittelpunkte hat und in A,W, enthalten ist. Indem wir auf diese Weise fortfahren, bestimmen wir nacheinander für alle natür- Hchen Zahlen k=1,2,... Punkte Q,, die auf $ liegen, und abge- schlossene Würfel W. mit den inneren Punkten W,, die Q, zum Mittel- punkte haben, und welche den Beziehungen
8) W.<AW,ı | (k=2,3,...) genügen. Aus diesen ft:
(4) W.<W.
und =
(5) W,<4;
setzen wir jetzt | no
(6) B=W\,T,
so sind die Punktmengen B, für jeden Wert von %k als Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Punktmengen abgeschlossen und nicht leer, weil diese ja beide mindestens den Punkt Q, enthalten. Ferner ist, wegen (4) und (6)
B>B>B>:-: und für jedes k, wegen (5) und (6) (7) | B,<AT.
Endlich ist B, als Teilmenge von W, eine beschränkte Punktmenge. Nach dem Satze 2 des $ 69 ist der Durchschnitt B,B,B,... der Punktmengen DB, nicht leer; dieser Durchschnitt ist aber einerseits, wegen (1) und (7), eine Teilmenge von DT, anderseits wegen (6) und (4) eine Teilmenge von W, und folglich nach (2) von UU,. Mithin
„st die Punktmenge DTUU,;,= DSD;
nicht leer, woraus folgt, daß D überall dicht auf S liegt ($ 77, Satz 3). 79. Definition. Eine Punktmenge A heißt nirgends dicht auf einer insich dichten Punktmenge 8, wenn die Menge Bder
inneren Punkte derKomplementärmenge von ASüberall dicht auf S liegt.
8 79 Überall dichte und nirgends dichte Punktmenge 65
Da die Punktmenge B nach Voraussetzung überall dicht auf S liegen soll, so gibt es in jeder Umgebung U> eines Punktes P von S einen Punkt Q, der zu BS gehört. Es sei U, eine Umgebung von Q, die in der offenen Punktmenge B enthalten ist. Für die Punktmengen U? und U, gilt dann erstens die Bedingung
(1) U, UrS +0 und zweitens ist, weil U,’ B und B keinen Punkt von AS enthält, (2) ASUUr =.
Nehmen wir umgekehrt an, daß man jeder Umgebung U?7 eines belie- bigen Punktes P von S eine offene Punktmenge Ug zuordnen kann, so daß die Relationen (1) und (2) zugleich erfüllt sind. Die Punktmenge UgUr besteht dann aus lauter Punkten der Komplementärmenge von AS und da U,Ü7 eine nicht leere offene Punktmenge bedeutet, so sind diese Punkte innere Punkte dieser Komplementärmenge. Wir können also schreiben
UgUr<B und daher auch | U,Ur < BU;; also ist nach (1) | BU,S=+0,
und da dies für jede Umgebung U7 eines Punktes P von $S gelten muß, und S eine in sich dichte Punktmenge bedeutet, so ist nach dem Satze 3 des $ 77 die Punktmenge B überall dicht auf S.
Anderseits besteht nach demselben Satze die notwendige und hin- reichende Bedingung dafür, daß die Punktmenge A nicht überall dicht auf U>S liege, in der Forderung, daß eine Umgebung U, eines Punktes Q von ÜrS existiert, für die der Durchschnitt A U,UpS leer ist, so daß dann die Relationen (1) und (2) zugleich stattfinden. Alles zusammen- fassend haben wir den
Satz 6. Dafür, daß eine Punktmenge A nirgends dicht auf einer Punktmenge S liege, ist notwendig und hinreichend, daß man jeder Um- ‚gebung U» eines beliebigen Punktes P von S eine offene Punktmenge U%g zuordnen kann, so daß die beiden Relationen U,UrS=+0 und ASU,U?=0 zugleich erfüllt sind, was damit gleichbedeutend ist, daß keine offene Punkt- menge U existiert, die mit S gemeinsame Punkte besitzt, so daß A überall dicht auf US liegt.
Es gilt nun der Satz:
Satz 7. Der Durchschnitt S einer perfekten Punktmenge T und einer offenen Punktmenge U kann nicht als Wereinigungsmenge von abzählbar
Carath&odory, Bevile Funktionen. 5
66 Kap. I. Über Punktmengen 8 80
nirgends dicht auf 5 liegen. Setzt man nämlich : V=A+4,+4+---
und bezeichnet mit V’, A,', A,,... die Komplementärmengen von V, A,, Ag, ., so ist (8 40) V=4,A4 ....
Nun sind nach Voraussetzung die A, Teilmengen von S und wenn man mit B, die inneren Punkte der Komplementärmenge von 4,=A,5 bezeichnet, so ist B<A4,.
Also hat man V>BBB,....
Wenn nun die offenen Punktmengen B, überall dicht auf $ liegen, so gilt dasselbe nach dem Satze 5 des vorigen Paragraphen vom Durch- schnitt B,B,B,... und die Punktmenge
S-V=SV’>SBB,...
kann daher nicht leer sein.
Sätze über gewisse Durchschnittsmengen.*) 80. Wir betrachten eine Folge .(1) B>B,>B>--- von abzählbar unendlich vielen ineinandergeschachtelten abgeschlos- senen Punktmengen von folgender Beschaffenheit:
Die Punktmenge B, be- steht aus 2* abgeschlos- senen getrennt liegenden Würfeln, deren Kanten- längen alle <1:2* sind, und jeder Würfel der Punkt- menge B, enthält zwei von den Würfeln der Punktmenge B,,,-
Ferner sei
Fig.7. (2) A,>4>4 >:
eine Folge von abzählbar unendlich vielen ineinandergeschachtelten ab - geschlossenen Punktmengen, und es sei
(8) A<B, *) Dieser Abschnitt wird erst im Kap. X benutzt werden.
5 81 8i Sätze über gewisse Durchschnittsmengen 67
und für jeden der abgeschlossenen Würfel W_, die in B, vorkommen, sei (4) A,W, m. 0. |
Da die beiden letzten Bedingungen natürlich erfüllt sind, wenn man 4,= DB, setzt, werden wir die allgemeineren Punktmengen A, statt der B, nur dann einführen, wenn wir durch äußere Umstände dazu veran- laßt sind (vgl. $ 82).
Wir wollen jetzt zeigen, daß der Durchschnitt
5) A=4,4A4,-
eife perfekte Punktmenge darstellt. Zuerst bemerken wir, daß nach den Sätzen 1 und 2 des $ 69 die Punktmenge A abgeschlossen und nicht leer ist. Ist nun P ein Punkt von A und T7 eine beliebige Um- gebung von P, eo kann man die natürliche Zahl k so bestimmen, daß der abgeschlossene Würfel W, der P zum Mittelpunkte hat und dessen Kantenlänge gleich 1:2*-1 ist, ganz in U? liegt (88 52, 56). Unter den 2* Würfeln, aus welchen die Punktmenge B, zusammengesetzt ist, gibt es, wegen (3) und weil P in A, liegt, einen, z. B. W_, der den Punkt P enthält. Da nun die Kantenlänge von W, kleiner oder gleich 1:2* ist, hat man
W.<W <TD.
Die Punktmenge W,B,,, besteht nach Definition aus zwei ge- trennten, abgeschlossenen Würfeln, von denen der eineW , den Punkt P “nicht enthält. Nun liegen aber für jedes #>(k-+ 1) eine Anzahl der Würfel von B, innerhalb w; und nach (M ist dann für jede dieser
Zahlen p AW.+0 PR i
Nach (2) gilt dieselbe Relation für alle übrigen Werte von p, die <(%k+1) sind, und da die Punktmengen A, W, alle abgeschlossen sind, ist der Durchschnitt
= (4,W ,) (AW,)...
nicht leer ($ 69, Satz 2). Dies besagt aber, daß die Punktmenge A in der Umgebung U, von P mindestens einen von P verschiedenen Punkt enthält, und da P ein beliebiger Punkt von A und Up eine beliel,ige Umgebung von P bedeutete, muß A in sich dicht sein. Wir hatten aber schon gesehen, daß A abgeschlossen ist; also ist die Punktmenge A eine perfekte Punktmenge.
81. Wir sind jetzt imstande, zwei Sätze zu beweisen, die uns Eat nützlich sein werden (vgl. 8 473). 5*
68 Kap. I. Über Punktmengen 8 81
Es seien mit U,, U,,... abzählbar unendlich viele offene Punkt- mengen bezeichnet; wir betrachten den Durchschnitt
(1) D-UD,...
dieser Mengen, von dem wir voraussetzen, daß er eine in sich dichte Punktmenge H enthält.
Es seien P, und P, zwei Punkte von H, die also beide in D und folglich in T, enthalten sind. Wir können zwei getrennt liegende ab- geschlossene Würfel w, und W, finden, die P, und P, zu Mittel- punkten haben, beide in U, enthalten sind und deren Kantenlänge die Zahl 1:2 nicht übersteigt. Nennen wir B, die Summe der beiden SUrEN so hat man
B<UD.
Da H in sich dicht ist und der Punkt P, von H im Inneren des Würfels W, liegt, gibt es mindestens zwei Punkte P,, und P,, von H, die innere Punkte von W, sind. Man kann dann, weil P,, und P., als Punkte von H in D und folglich in der offenen Punktmenge Ü. liegen, zwei abgeschlossene Würfel W,, und W,, finden, die getrennt liegen, in U, W, enthalten sind, deren Mittelpunkte die Punkte P,, und P,, sind und deren Kantenlänge < <1:2°? ist. Ebenso kann man in U, W, zwei abgeschlossene Würfel Wi und W,, bestimmen, die getrennt liegen, und deren Kantenlänge < 1:2? ist. Setzt man dann
B, =W,ı +W: +W;, +W B<T,
und besitzt die Eigenschaften, die im vorigen Paragraphen von der gleichnamigen Punktmenge gefordert waren.
Allgemein bestimmt man, indem man auf diese Weise fortfährt, für jede natürliche Zahl k Punktmengen B,, die aus 2* abgeschlossenen Würfeln bestehen, deren Mittelpunkte Punkte von H sind, für welche außerdem die Relation
(2) B,.<U,
gilt und für welche sonst die übrigen Bestimmungen stattfinden, die wir im vorigen Paragraphen festgesetzt hatten.
Der Durchschnitt aller B, ist, wie wir sahen, eine perfekte Punkt- menge, die wegen (2) und (1) eine Teilmenge von D ist. Aus der Vor- aussetzung, daß D eine in sich dichte Teilmenge enthält, folgt also, daß es auch eine perfekte Punktmenge enthalten muß und daher nicht
so ıst
8 82 Sätze über gewisse Durchschnittsmengen | 69
abzählbar sein kann ($ 65, Satz 9). Enthält die Punktmenge D keine in sich dichte Punktmenge, so muß D notwendig abzählbar sein (8 63); wir haben also den Satz:
Satz 1. Der Durchschnitt von abeählbar unendlich vielen offenen Punktmengen ist entweder leer, oder eine abzählbare Punktmenge, die keine in sich dichte Punktmenge enthält, oder aber er enthält mindestens eine perfekte Punktmenge.
Ein interessantes Ergebnis dieses Satzes ist, daß nicht jede ab- zählbare Punktmenge als Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Punktmengen dargestellt werden kann. Die Menge der rationalen Punkte z. B. ist abzählbar und zugleich in sich dicht; der Durchschnitt ‚von abzählbar vielen offenen Punktmengen kann also nicht aus diesen Punkten allein bestehen, wenn er sie alle enthält.
82. Wir betrachten jetzt eine Folge M,, M,,... von Punktmengen, von denen jede die Vereinigung von abzählbar unendlich vielen abge- schlossenen Punktmengen N,, ist: Ä
(1) M,=Na+tNst (k=1,2,...) und nehmen an, daB der Durchschnitt | (2) D=M,M,4,;.
dieser Punktmengen nicht abzählbar ist. Wir bezeichnen mit C'y die Kondensationspunkte von D und setzen
C= DC);
dann ist ($ 63, Satz 6) die Punktmenge Ü nicht abzählbar und in der Menge Cp ihrer eigenen Kondensationspunkte enthalten und ferner ist C in jedem M, enthalten, also
(3) C=ÜM, (k=1,2,...).
Es seien P, und P, zwei Punkte von C und W,, W, zwei getrennt liegende (offene) Würfel, die P, und P, zu Mittelpunkten haben, und deren Kantenlänge <1:2 ist. Da W, einen Kondensationspunkt von C, nämlich P, als Mittelpunkt besitzt, ist die Punktmenge W, © nicht ab- zählbar und das Gleiche gilt wegen (3) von der Punktmenge M, W, 0. Wären nun die Punktmengen |
N,,W,C j=1,2,...) alle abzählbar, so würde dasselbe von ihrer Vereinigung M, W,C gelten müssen, was nicht der Fall ist; man kann daher eine natürliche Zahl », finden, so daß N, „m WıC nicht abzählbar ist. Ebenso kann man aber
70 Kap. I Über Punktmengen. - — Sätze über gewisse Dur Durchschnittsmengen $ 82
auch eine natürliche Zehl 9, finden, so daB N,, W,C nicht abzähl- bar ist. Setzt man nun, indem man mit W, und w, die abgeschlos- senen Hüllen von W, und W, bezeichnet,
DB, — w, + W, und A, = (N; n, + N,.)B: N) so ist A, abgeschlossen, weil N, N,, und B, es sind ($ 69, Satz 1
199 und 3). Ferner ist A,<’ M, und Ä<EH B, und die Punktmengen A, W,C, A,W,C sind nicht abzählbar. Bezeichnen wir mit C, die Menge der Kondensationspunkte von (A, W,C + 4A,W,C), soweit sie in dieser Punktmenge enthalten sind, und wählen in C,W, und C,W, je zwei Punkte P,,, Pi, und P,,, Pys, so können wir die obige Konstruktion, in der man (’ durch C, ersetzt, wiederholen; ich behaupte, daß man auf diese Weise zwei Folgen von abgeschlossenen Punktmengen B,, B,,... und A,,A,,... erhält, welche die Eigenschaften, die im $ 80 für die gleichnamigen Mengen gefordert waren, besitzen. Es handelt sich darum zu zeigen, daß, wenn die B, und A, gegeben sind, die B,,, und A,,, konstruiert werden können. Von den A, verlangen wir nun folgendes: Es soll AA< M,, A,< DB, und A,< A,_, sein und für jeden Würfel W_, der in B, vorkommt, soll 4,W_C nicht abzählbar sein. Nun ist nach (3)
4,W,C= M,,,4,W,C
und daher die Punktmenge M,,,4,W,„C ebenfalls nicht abzählbar. Es seien Q, und Q), zwei Kondensationspunkte dieser Menge, die in ihr liegen und W ,, W., zwei Würfel, die Q, und @, zu Mittelpunkten haben, deren Seiten < 1:2*+! sind und deren abgeschlossene Hüllen W und W _, getrennt liegen und Teilmengen von B, sind. Dann kann man wie oben die natürlichen Zahlen g, und q, so wählen, daß die
Punktmengen N a4 Waı Ar C und Na4Da We A, ÜC
nicht abzählbar sind. Führt man diese Operation für alle 2: Würfel W_ der Punktmenge B, aus und bezeichnet mit B,,, die Summe der ab- geschlossenen Würfel WW, und mit V,,, die ee aller 2*+! abgeschlossenen Punktmengen N, ,1,» N, 41a; ,, 30 genügt es
Ayrı = Y,41 Ar Bari
zu setzen, um allen geforderten Eigenschaften zu genügen. Der Durchschnitt A=AhrAs.:
aller A, ist dann nach dem $ 80 eine BEE An die in D enthalten ist, und wir haben den Satz:
$ 83 Kap. 1I. Der Grenzbegriff. — Der allgemeine Funktionsbegriff 711
Satz 2, Der Durchschnitt D-MMM,...
von abzählbar unendlich vielen Punktmengen, von denen jede die Vereini- gung abzählbar vieler abgeschlossener Punktmengen ist, enthält eine per- fekte Teilmenge, sobald er nicht abzählbar ist.
Da jede offene Punktmenge als Vereinigung von abzählbar unendlich vielen abgeschlossenen Punktmengen angesehen werden kann ($ 73), enthält der letzte Satz einen Teil des vorigen. Nur kann hier der Durch- schnitt D sehr wohl abzählbar und in sich dicht sein, was früher nicht der Fall war. Es könnten z. B. alle M, einander gleich sein und aus der Menge der rationalen Punkte des Raumes bestehen.
Kapitel I. Der Grenzbegriff. Der allgemeine Funktionsbegriff.
83. Der moderne Begriff einer Funktion deckt sich mit dem einer Zuordnung.
I. Im einfachsten Fall der reellen eindeutigen Punktfunk- tionen wird jedem Punkte .P einer gegebenen beliebigen Punktmenge A des n-dimensionalen Raumes eine endliche oder unendliche Zahl ein- deutig zugeordnet, die man z.B. mit /(P) bezeichnet, um die Abhängig- keit dieser Zahl vom Punkte P hervortreten zu lassen. Die Punktmenge A, die gegebenenfalls alle Punkte des Gesamtraumes R, umfassen kann, heißt der Definitionsbereich der Funktion f(P).
Unter den einfachsten Punktfunktionen sind diejenigen hervorzu- heben, deren Definitionsbereich A aus einer abzählbaren unendlichen Punktmenge besteht. Den Punkten
N RE SE von A entsprechen dann eindeutig die Zahlen (1) ER
Diese Gesamtheit der Zahlen a,, von denen jede durch ihren Index k einer natürlichen Zahl eindeutig zugeordnet ist, nennt man eineZahlen- folge. Zahlenfolgen unterscheiden sich dadurch von den Punktfolgen, die wir bisher betrachtet haben (s. z. B. den $ 40), daß zwei verschie- dene Elemente a, und a, der Folge (1) dieselbe Zahl bedeuten können Wir werden manchmal eine Zahlenfolge durch Angabe ihres allgemeinen Elements, also z. B. die Folge (1) mit a,, bezeichnen.
12 Kap. II. Der Grenzbegriff 3 84
nd Se mn
IL. N eben den Ponktfunktionen, die uns hauptsächlich beschäftigen werden, werden wir auch sehr oft Mengenfunktionen betrachten: diese erhält man dadurch, daß man jeder Punktmenge A einer gewissen Menge A von Punktmengen eine endliche oder unendliche Zahl zuord- net, die wir z. B. auch mit f(A) bezeichnen werden. Die Menge U, die gegebenenfalls alle möglichen Punktmengen eines Raumes AR, umfassen kann, heißt dann ebenfalls der: Definitionsbereich der Mengen- funktion f(A).
So kann man z. B. die Summe der Kantenlängen der Intervalle (829) als eine Mengenfunktion ansehen. Hierbei besteht der Definitions- bereich X aus der Gesamtheit der Intervalle des betrachteten Raumes.
Ill. Ein weiterer Funktionsbegriff, dem man fast alle Gebilde, die bisher in der Analysis betrachtet worden sind, unterordnen kann*), ist folgender:
Jeder Punktmenge A einer gewissen Menge X von Punktmengen wird nicht mehr eine Zahl, sondern wieder eine Punktmenge B desselben oder eines anderen Raumes eindeutig zugeordnet.
Der Gesamtheit X der betrachteten Punktmengen A entspricht dann also eine Gesamtheit ® der zugeordneten Punktmengen B und man sagt, daB A auf B eindeutig abgebildet ist.
Als Beispiel fübren wir die abgeschlossene Hülle A einer Punkt- menge A an, die ja jeder Punktmenge zugeordnet ist ($ 72).
Der am meisten gebrauchte Fall einer Abbildung ist der, wo die Punktmengen A und B jede aus einem einzigen Punkte bestehen und die Gebilde A und ® wieder gewöhnliche Punktmengen sind (vgl. $ 200).
84. Unter dan Abbildungen von zwei Mengen X und B von Punkt- mengen A und B aufeinander sind die eineindeutigen Abbildungen besonders zu beachten. Man sagt, daß die Abbildung eineindeutig ist, wenn zwei verschiedenen Punktmengen A, und A, von U stets zwei verschiedene Punktmengen B, und B, von ® zugeordnet sind. Dann entspricht umgekehrt jeder Punktmenge B von ® wieder eine eindeutig bestimmte Punktmenge A von U. Bei eineindeutigen Abbildungen ist also sowohl A auf ® als auch ® auf A abgebildet.
*) 2. B. die mehrdeutigen Funktionen, die analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, die Funktionen von abzählbar unendlich vielen Ver- änderlichen, die Gebilde, die aus endlich oder unendlich vielen Funktionen dieser verschiedenen Arten bestehen u.a m.
8 86. 86 Der obere und der untere Limes 73
Der obere und der untere Limes.
85. Es sei A eine beliebige Punktmenge und f(P) eine Funktion, deren Definitionsbereich A ist. Wir führen nun, wenn « eine beliebige endliche Zahl oder + oo bedeutet, folgende Bezeichnung ein, die uns auch später gute Dienste leisten wird:
M(f>«)
soll die Teilmenge von A bedeuten, die auch leer sein kann, in welcher die Werte der Funktion f(P) größer als « sind,
M(f=«e) @
soll die Teilmenge von A bedeuten, in welcher f(P)) den Wert « an- nimmt; und ähnlich erklären wir die Symbole |
M(f<e), M(fze), M(fse), M(f+e), uf. Setzen wir jetzt zur Abkürzung A [oar>, Arm utze, B, = M(f<e), B,* zu M(f<se), so haben wir
(2) A, +B*=B,+A*=4. Außerden: haben wir
AF=-4,+4M(f=e) und daher (3) AA und ebenso findet man (4) B,<B#.
Sınd nun « und ß zwei Zahlen, und hat man « < ß, so ist
Au er A,* + M(«<f<ß)
und daher
(5) . A,* < As; ebenso beweist man, daß
(6) BF<B, ist.
86, Es sei jetzt f(P) eine Funktion, deren Definitionsbereich A eine unendliche Punktmenge ist. Wir betrachten die Zahlenmenge [«}, die aus allen Zahlen besteht, für welche die oben definierte Punktmenge A, sus unendlich vielen Punkten besteht. Ist diese Zahlenmenge nicht
14 Kap. II. Der Grenzbegriff 8 86
leer, so sei ihre obere Grenze mit & bezeichnet; ist die Zahlenmenge {« } aber leer, so setzen wir = — oo.
Die Zahl «, die also in jedem Falle eindeutig bestimmt ist, heißt der obere Limes des Wertevorrats der Funktion f(P)in ihrem Definitionsbereiche A.
Wir werden bald an Beispielen sehen (888), daß dieser obere Limes sowohl endlich als auch gleich + oo sein kann. Zuerst wollen wir aber zeigen, daß man die Zahl & auch auf andere Weise definieren kann.
Es sei erstens «<+ oo und 8 eine beliebige Zahl, die‘« übertrifft,
a<$ dann gibt es Phlen &', die zwischen & und & liegen, a«a<gö<$, und die Relationen (3) und (5) des vorigen Paragraphen lehren, daß A; < Ar< A, ist. Nun ist aber, weil &°>« ist, nach Definition A, eine endliche Punktmenge, d.h. eine solche, die nur aus höchstens endlich vielen Punk- ten besteht; nach dem Satze 1 des $38 müssen also ihre Teilmengen A; und A;* ebenfalls endliche Punktmengen sein.
Wir sehen also, daß, sofern Zahlen & existieren, die größer als « : sind, die beiden Punktmengen 4A; und A,” endlich sein müssen.
Zweitens sei & > — oo und n eine beliebige Zahl, die von « über- troffen wird,
n<e; dann ist nach der obigen Definition A, eine unendliche Punktmenge, und das gleiche gilt, wenn man die Relation (3) des vorigen Paragraphen berücksichtigt, von A, *.
Wir sehen also, daß, sofern Zahlen n existieren, die kleiner als « sind, die beiden Panktmengen A, und A,* aus unendlich vielen Punkten bestehen müssen.
Hieraus folgt, daß Zahlen & für welche A; oder A;* endliche Punkt- mengen sind, dann und nur dann existieren, wenn « <+ oo ist, und daß dann & die untere Grenze dieser Zahlen ist, und daß Zahlen n, für welche A, und A,* unendliche Punktmengen bedeuten, dann und nur dann existieren, wenn & > — oo ist, und daß dann « gleich der oberen Grenze dieser Zahlen ist.
Wir können demnach den Satz aussprechen:
Satz 1. Man erhält den oberen Limes & des Wertevorrats einer Funk- tion f(P) in ihrem Definitionsbereich A, indem man die obere Grenze
87 Der obere und der untere Limes 75
der Zahlen n bestimmt, für welche die Punktmengen M(f>») ode M(fzn) unendlich sind, oder die untere Grenze der Zahlen & bestimmt, für welche
die Punktmengen
M(f>8) ode M(f=}) endliche Punktmengen sind. Von diesen vier Operationen sind entweder nur swei ausführbar, und & ist dann gleich + oo, oder sie sind alle vier gleichzeitig ausführbar und liefern dann denselben Wert für « .
87. Wir führen jetzt folgende Definition ein:
Definition. Der untere Limes « des Wertevorrats einer Funktion f(P) in ihrem Definitionsbereich A ist eine Zahl, die dem oberen Limes ß des Wertevorrats von — f(P) ent- gegengesetzt ist, d. h. es soll
e——ß sein, falls ß eine endliche Zahl ist, und « gleich —oo oder + sein, je nachdem ß gleich + oo oder — oo ist.
Wir bemerken, daß für jede endliche Zahl « die Gleichungen
M(f<e)- M(-f>-.) gelten. Es sei nun erstens « > — oo und n<e; dann ist nach Definition ß <-+ oo und —n>B. Also bestehen nach dem vorigen Paragraphen die Punktmengen (2) M(-f>-m wd M(-f2-n)
aus höchstens endlich vielen Punkten; da nach (1) diese Punktmengen. identisch sind mit unseren früheren Punktmengen B, und B,*, so müssen diese ebenfalls endliche Punktmengen sein.
Zweitens sei & < + oo und a<$ dann ist —&<ß, und nach dem vorigen Paragraphen müssen die
Punktmengen M(-f>-}) ud M(-f=-5)
76 Kap. II. Der Grenzbegriff 8 88
oder, was dasselbe ist, die Punktmengen B, und B,* aus unendlich vielen Punkten bestehen.
Satz 2. Der untere Limes « des Wertevorrats einer Funktion f(P) ist gleich der oberen Grenze der Zahlen n, für welche die Punktmengen
M(f<n) ode M(f<sn)
endlich sind, oder auch gleich der unteren Grenze der Zahlen &, für welche die Punktmengen
. M(f<$) odr M(fs$)
unendlich sind. Von diesen Operationen sind entweder nur zwei oder alle vier ausführbar, je nachdem « unendlich oder endlich ist.
Wir wollen jetzt die Zahlen & und « miteinander vergleichen. Es sei @ <-+ oo und & eine beliebige Zahl, die & übertrifft:
(3) ea<$.
_ Dann ist die Punktmenge A; eine endliche Punktmenge; nach der Glei- chung (2) des $ 85 ist aber Ä
B*+ 4: un A,
und da A eine unendliche Punktmenge ist, muß’auch B;* aus unend- lich vielen Punkten bestehen. Dies ist aber nur dann möglich, wenn
(4) >.
ist; wäre nun @ > «, so könnte man Zahlen & finden, die zwischen den beiden Zahlen & und «& liegen, und die beiden Relationen (3) und (4) könnten nicht gleichzeitig bestehen. Es muß also stets
«sa sein. Wir haben die letzte Relation nur unter der Voraussetzung be- wiesen, daß «<< + oo ist; im Falle & = + 00 ist sie aber von selbst erfüllt, und wir haben den Satz:
Satz 3. Der untere Limes « des Wertevorrats einer Funktion f(P) ist nie größer als der obere Limes « dieses Wertevorrats.
88. Wir werden den Begriff des oberen und des unteren Limes im folgenden ausschließlich auf Zahlenfolgen ($ 83) anwenden, und es ist daher zweckmäßig, die folgenden Sätze, die übrigens — bis auf die Kon- struktion des $ 95 — auch mit der bisherigen Allgemeinheit gelten, nur für diese auszusprechen.
8 88 Der obere und der untere Limes 77
Ist
(1) Ay, Ag, Agy »».
irgendeine Folge von (endlichen oder unendlichen) Zahlen, so bezeichnet man die Zahlen & und « auch öfter durch die Zeichen
«=lima,, Nn=%8
& zu lim a,, Nn=8
in denen a, das allgemeine Element der gegebenen Zahlenfolge bedeutet. Diese Größen & und & werden die Hauptlimites der Zahlenfolge ge- nannt; & heißt der obere, « der untere Limes der Folge. Sie haben nach den früheren Betrachtungen folgende Bedeutung:
Die Zahl & ist die obere Grenze der Zahlen n, für welche eine
der Relationen n<a, oder n<sa,
für unendlich viele Werte der natürlichen Zahl k erfüllt ist, oder auch die untere Grenze der Zahlen &, für welche eine der Relationen
£<a, oder E<a,
nur für höchstens endlich viele Werte von % erfüllt ist. Die Zahl «& ist die obere Grenze der Zahlen 7, für welche eine der
Relationen n>a, oder 72a,
nur für höchstens endlich viele Werte von %k befriedigt ist, oder auch die untere Grenze der Zahlen &, für welche
E>a, oder 8 >a, für unendlich viele Werte von % erfüllt ist.
Unsere ursprüngliche Definition von « ($ 87) liefert uns übrigens den Satz
Satz 4. Es gilt stets die Relation lim (— a,) = — lim a,. Wir wollen an einigen Beispielen zeigen daß die Hauptlimites
einer Folge von Zahlen sowohl voneinander verschieden als auch ein- ander gleich, sowohl endlich als unendlich sein können:
18 Kap. II. Der Grenzbegriff 8 89
a=—,
n so wird jede negative Zahl durch unendlich viele a, übertroffen, jede positive Zahl aber nur durch höchstens endlich viele. Es ist also
=0, und ebenso siebt man, daß ist. 2. Ist a=n,
so findet man
3. Es sei 1 1 A,_, =1-— ee 1+ n (n=1,2,3,...); dann ist e=—]1 und a=-H+]1. 4. Es sei : %,„-ı 7% ,= N (n=1,2,3,...); dann findet man “= —00, &=+ 89 5. Es sei 1 Gn-ı a,— N (n=1,2,3,.. ); dann ist e=0, &=+o 89. Es sei (1) Ay, Ag, Ay, »-. eine beliebige Zahlenfolge mit den Hauptlimites « und « und (2) De: 0a; De:
sei eine Teilfolge von (1) mit den Hauptlimites ß und ß. | Es sei nun &<+ oo, und & bedeute eine beliebige Zahl nel &. Es gibt dann nur höchstens endlich viele a,, für welche |
E<a,
ist, und weil die Folge (2) eine Teilfolge von (1) ist, ebenfalls nur höchstens endlich viele d,, für welche
E<b,
E>ß,
ist. Hieraus folgt aber
8 90 Der obere und der untere Limes 79
—n nn nn -—-n
und da dieses für alle Zahlen & gilt, die & übertreffen, muß auch B<a sein. Die letzte Relation gilt natürlich auch, wenn « = + oo ist, und ıst daher allgemein. Ebenso findet man die Relation | up.
Ist nun $<x, so gibt es Zahlen &, die zwischen ß und « liegen. Diese Zahlen & werden dann selbst von unendlich vielen Elementen a, übertroffen, aber nur von höchstens endlich vielen b,, und hieraus folgt, daß es dann unendlich viele Elemente a, geben muß, die in der Folge (2) nicht enthalten sind. Ebenso schließt man für den Fall, wo «a <ß ist.
Satz 5. Zwischen den Hauptlimites « und «& einer Zahlenfolge
Gy, Ag, Qys . | und den Hauptlimites ß und ß einer beliebigen ihrer Teilfolgen Dis da dan
bestehen siets die Relationen 5 .spspse.
Gribt es nur endlich viele Elemente der ersten Folge, die nicht in der zwei- ten vorkommen, so ist außerdem immer
«a=ß und «=Pß.
Nach genau derselben Methode beweist man den Satz: Satz 6. Bestehen zwischen den Elementen zweier Zahlenfolgen a,, A, -.. und b,, b,, -... die Bedingungen a,b, (n=1,2,3,...), so gelten auch zwischen ihren Hauptlimites &, a, B und ß die Relationen asß und as ß. 90. Wir betrachten zwei beliebige Zahlenfolgen Ay, Ag, As, . 5 b,, b2, b5, >,
sowie die Zahlenfolge > ER, PER PR
80 Kap. II. Der Grenzbegriff g 90
die ıman erhält, wenn man die Folge der a, und b, gliedweise summiert, „=4a.+b, (n=1,2,3,...) und bezeichnen resp. mit &, «, ß, ß, 7, » die Hauptlimites dieser Fol-
gen. Hierbei wird natürlich stillschweigend vorausgesetzt, daß (falls nicht alle a, und b, endliche Zahlen bedeuten) die Operation a,+b, für jeden Wert von n ausführbar ist (5 22).
Es seien zunächst % und ß endliche Zahlen und p eine beliebige positive Zahl. Die Menge N, der natürlichen Zahlen %, für welche
a.>«eH+ - ; ist leer oder endlich; desgleichen die Menge N, der natürlichen Zahlen, für welche
,>ß+3 ist. Für alle natürliche Zahlen, die er zu N, noch zu N, gehören, ist zugleich
„<&+% und <h+?
und daher
Es gibt aber höchstens endlich viele natürliche Zahlen, die in der Vereinigungsmenge (N, + N,) enthalten sind; für diese allein kann „>a+ß+tp sein und hieraus schließt man, daß <a+ß+p sein muß. Die letzte Relation ist für jede positive Zahl p richtig und man hat daher auch
(1) y<aH+ß. Es sei zweitens die eine der beiden Zahlen & oder ß gleich — oo und die andere von + oo verschieden, so daß nach dem $ 22
@+ß=-oo ıst. Ist z.B.
@=—-o und B<+to,
so wähle man eine beliebige Zahl & und eine zweite beliebige Zahl », die ß übertrifft. Die Menge der natürlichen Zahlen, für welche
a„>&6—n ode 5b,>n
8 91 Der obere und der untere Limes 81
ist, ist dann leer oder endlich und es gibt nach demselben Schluß wie früher ebenfalls nur höchstens endlich viele Zahlen c,, für welche
„>6—-n+mM)=5 | ist. Hieraus folgt aber y<& und weil & eine beliebige endliche Zahl bedeutet _ BE y=—-o=ac+Bß. Ist endlich eine der Zahlen & oder $ gleich + oo-und die andere verschieden von — oo, so ist - ä+ß=+ und die Relation (1) ist wieder erfüllt. Diese Relation ist m. a. W. stets erfüllt, außer wenn von den beiden Zahlen « und ß die eine gleich + oo, die andere gleich — oo ist, d.h. wenn die Summe «& + ß nicht definiert ist ($ 22). 91. Wir wollen jetzt 7 mit (@ + ß) vergleichen; es seien zunächst die beiden Zahlen «@ und ß endlich und p eine beliebige positive Zahl. Die Menge N, der natürlichen Zahlen, für welche
| A, >u— 9y> ist unendlich; die Menge N,, für welche 1, <ß-— 3 : ist leer oder endlich. Unter den Tlenanten von N, sind also sicher un- endlich viele vorhanden, die nicht in N, enthalten sind, und für diese
ist zugleich en n >86 a>e. —- — un _ n 2
es gibt also eine unendliche Menge von natürlichen en für welche
C, > a + ß -p ist. Hieraus folgt aber oL_ vza+ß-—p; und, da die positive Zahl p beliebig ist, (1) rzZa+pß.
Es sei zweitens & = + oo und ß von — oo verschieden; ist dann & eine beliebige Zahl und 7 <ß, so sieht man genau wie oben, daß es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, für welche zugleich
0 @>5—n wd 5>7
Carathsodory, Beelle Funktionen. 6
82 Kap. II. Der Grenzbegriff g 9
stattfinden. Also gibt es auch unendlich viele natürliche Zahlen », für welche u Ä
ist. Ebenso wähle man n <« und & beliebig, wenn «> — oo und
ß=+ 0 ist; dann gibt es unendlich viele Zahlen », für welche zugleich a>n ud b>&—n
stattfinden. Für diese natürlichen Zahlen ist dann auch
>58. In den beiden letzten Fällen muß also 7 > & sein, und weil & be- liebig war, y-r®=a+ß sein. Die Bedingung (1) ist ferner stets erfüllt, wenn der eine der
beiden Hauptlimites @ und 8 gleich — oo und der andere von + © verschieden ist, denn man hat dann
a+ß=-— 0;
wir sehen also, daß sie immer stattfindet außer, wenn die Operation & + ß nicht ausführbar ist, d.h. wenn die eine "der Zahlen « a oder ß gleich + oo und die anders gleich — 00 ist. Durch Vertauschung der beiden Folgen a, und, erhält man aus (1) die Relation F>Za+ß.
Wendet man endlich die Resultate des vorigen und dieses Para- graphen auf die Folgen (— a,), (— b,) und (— c e an und berücksichtigt
den Satz 4 des $ 88, so kommt: -+<-)+-9 -r2-)+-B); er oder - y2Zat+tß; r<Sat+ß; ySce+ß
und wir können also den Satz behaupten:
Satz 7. Zwischen den Hauptlimites «, «, B, ß, y, 9 der drei Zahlen- folgen u
a,b, =a,+b, (n=1,2,3,...)
besichen stets die sechs Bedingungen:
8 92 Der obere und der untere Limes
Ze...
Jede dieser sechs Bedingungen ist immer richtig, wenn sie einen Sinn hat, d. h. wenn nicht in den vorkommenden Summen (a,-+b,), («+ ß) u. s. f. der eine Summand gleich + oo, der andere gleich — oo ist.
92. Es seien a,, a,,... und b,, b,,... zwei Zahlenfolgen, die aus lauter positiven, endlichen Zahlen bestehen und für welche die Glei- chungen (1) ab, =1 n=1,2,...) sämtlich erfüllt sind. Die Hauptlimites dieser Zahlenfolgen bezeichnen wir wieder mit «, &, ß und 8 und bemerken, daß keine dieser Zahlen negativ sein kann. Ist nun @>0O und 7 eine positive Zahl, die kleiner als « ist,
(2) O<n<a, so gibt es unendlich viele natürliche Zahlen %, für welche a >n ist, und daher nach (1)
b,<- ist. Hieraus folgt aber (3) B<.- Ist zweitens &« < + oo und 5 eine beliebige Zahl oberhalb «, (4) a<$, |
so gibt es nur höchstens endlich viele natürliche Zahlen, für welche a, > & und daher auch nach (1)
b,<
un|
ist. Hieraus folgt aber (5) B>2 4:
Ist also zunächst & eine endliche und von Null verschiedene Zahl, so folgt aus (3) und (5), daß die Zahl ß ebenfalls endlich und von Null verschieden sein muß, und diese Relationen können dann geschrieben werden
Os n<g<E. Hieraus folgt aber - (7)
weil man sonst entweder eine Zahl n oder eine Zahl & finden könnte, für welche die Relationen (2), (4) und (6) nicht zugleich gelten können. 6*
=4(,
Itn| 1
84 Kap. I. Der Grenzbegriff 8 98
einer beliebigen positiven Zahl p setzen und es folgt dann aus (3) (oder (5)) ß=0 bzw. P=+tm.
Satz 8. Bestehen zwischen swei Zahlenfolgen mit positiven Elementen a, und b, die Bedingungen a,b, =1, (n=1,2,...) so ist von den beiden Hauptlimites « und ß der eine gleich Null, falls der andere unendlich ist und umgekehrt, und in jedem anderen Falle ist
B-1.
Das Ergebnis des vorigen Satzes kann ohne Mühe auf den Fall er- streckt werden, daß die a, auch die Werte O und + oo annehmen, und die entsprechenden b, gleich + oo bzw. gleich O sind.
93. Wir betrachten jetzt wieder drei Zahlenfolgen, deren Elemente a,, b,, c, nicht negativ und durch die Gleichungen „ = Q, b,
miteinander verbunden sind. Die Voraussetzung, daß die Zahlen a,, b, alle endlich sein sollen, ist für das Folgende nicht notwendig; wir müssen nur verlangen, daß, wenn a, = + 00 ist, b,> 0 und wenn a, = 0 ist, b,<-+oo sein soll. Es seien wieder «, &, ß, 8, y und 7 die Haupt- limites dieser Folgen. .
Wir nehmen zunächst an, die beiden Zahlen % und ß seien beide endlich und bezeichnen mit 9 eine beliebige positive Zahl. Es gibt nur höchstens endlich viele natürliche Zahlen, für welche
a,>«+p» oder b,>ß+p ist. Ist aber zugleich a <@+punddb,<fß-+p, so ist auch ab, <(&+P)(ß+P)
und hieraus folgt, daß es nur höchstens endlich viele natürliche Zahlen gibt, für welche
„>(@+P)(P+P) sein kann. Dies besagt aber, daß für jedes p > 0
MD) r<(e+P)(B+p)
S 94 Der obere und der untere Limes 85
ist. Es sei nun & eine beliebige positive Zahl; setzen wir p gleich der kleineren der beiden Zahlen
1 und Den +ß+1 so Ist: . 5 u (@a+p)(ß e +p(@+ß+p) (2) <aß+p(@+ß+I) Zap
Aus (1) und (2) folgt dann, daß 7<%ß-+ e ist, und da letzteres für jedes positive & gelten muß, bekommt man (3) r<ap.
Die letzte Relation ist natürlich auch dann erfüllt, wenn eine der
beiden Zahlen gleich + oo ist und die andere endlich oder unendlich aber +0; denn man hat dann
aß=+mw.
94. Wir nehmen jetzt an, die beiden Zahlen & und ß seien endlich und von Null verschieden. Sie müssen dann beide wegen unserer Vor-
aussetzungen positiv sein, und wenn & eine beliebige positive Zahl be- deutet, so ist die kleinste der drei Zahlen
& Ba 249 ebenfalls positiv; diese letzte Zahl bezeichnen wir mit p. Es gibt nur höchstens endlich viele natürliche Zahlen », für welche
b, s ß p ist, dagegen unendlich viele, für welche
A, > & — pP ist. Also gibt es auch unendlich viele natürliche Zahlen, für welche zugleich
a„,>a—p und b,>ß—p
und daher auch Br „=a,,>(e—p)(ß—Pp) stattfindet. Mithin ist (1) r2(e—-pP)(P—P).
86 Kap. I. Der Grenzbegriff 5 94 ee . (—p)(B—-pP)=auß—plea+Pß)+ pP" >uaß-p(e+P) Zzuß-—e.
Es ist also, da & beliebig gewählt werden konnte, (2) rzuß.
Zu demselben Resultate gelangen wir, wenn eine der Zahlen « oder ß gleich + oo und die andere #0 ist. Es siz.B. «= + 00; man wähle zwei positive Zahlen & und n, von denen die erste beliebig und die zweite kleiner als $ ist. Dann beweist man mit ähnlichen Über- legungen, wie diejenigen, die zu (1) führten, die Relation
y>dn und da nach fester Wahl von n die Zahl & beliebig genommen werden
kann, muß B y-tro-ä
sein. Endlich ist die Relation (2) ebenfalls erfüllt, wenn die eine der Zahlen & oder ß verschwindet und die andere endlich ist; denn es ist dann eß =.
Gibt es unter den Elementen a, oder b, unendlich viele verschwin- dende, so gilt dasselbe für die Folge der c, und wir haben
e—-y—V0
und daher auch 5 r<aß,
außer, wenn die Produkte «ß oder «ß nicht ausführbar sind.
Sind aber nur höchstens endlich viele natürliche Zahlen vorhanden, für welche a, oder b, verschwinden, so kann man, um die Unbestimmt- heitsgrenzen «,«&, ß, ß, 9,9 zu berechnen, von diesen absehen ($ 89, Satz 5), und daher voraussetzen, daß die Elemente a,, b, und ec, alle positiv sind. Wendet man dann die vorhergehenden Resultate auf die drei Folgen
n=1,2,..,)
an, so ergibt sich mit Hilfe des $ 92
8 96 Der obere und der untere Limes 87
oder i (3) | eB<y<aup.
Bei dieser Überlegung muß man natürlich die Fälle, in welchen eine oder mehrere der Zahlen «, ß, ß, y gleich Null Sder unendlich sind, wieder getrennt behandeln, und man sieht leicht ein, daß die Rela- tionen (3) immer dann stattfinden, wenn in den vorkommenden Produk- ten nicht die eine Zahl gleich Null und die andere gleich + oo ist.
Satz 9. Sind | a,b, und c„=a,:b, (n=1,2,...)
drei beliebige Folgen von nicht negativen Zahlen mit den Hauptlimites «, «, ß, P, Y, Y, so bestehen zwischen diesen Zahlen immer die Relationen
eB<y< <H<aß,
"
solange nicht in den vorkommenden Produkten der eine Faktor gleich Null und der andere gleich + oo ist.
95. Die Hauptlimites einer Zahlenfolge kann man durch schritt- weise Bildung von oberen und unteren Grenzen berechnen:
Satz 10. Bezeichnet man mit «, die obere, mit «) die untere Grenze der ee
(1) On; On +15 Q,+3) er
und setzt
(2) & = untere Grenze von {«&,, &,...}, (3) | n = obere Grenze von {«,', &y,...},
so sind die Zahlen &E und n gleich den Hauptlimites & und « der Zahlen- folge
(4) GA, Ay... Der Wortlaut dieses Satzes ist so zu verstehen; sind alle «, = + 0, so hat man auch & = + oo zu setzen, und ebenso muß man 7 = —
nehmen, wenn sämtliche &/ gleich — oo sind.
Wir wollen z. B. beweisen, daß die durch die Gleichung (2) defi- nierte Zahl & gleich dem oberen Limes der Folge (4) ist. Dazu be- merken wir, daß die Zahlenfolge (1) durch Weglassen von endlich vielen Elementen von (4) entsteht; nach dem Satze 5 des $ 89 haben also die
‘88 Kap. II. Der Grenzbegriff 8 96 beiden Folgen dieselben Hauptlimites, und es kann daher die obere Grenze «, von (1) nicht kleiner als « sein:
(5) oa.
Ist insbesondere & = + 00, so ist für jedes # die Zahla, = + und dasselbe gilt dann auch von &; man kann dann schreiben (6) .g E=u.
Ist aber « < + oo, so sei 8’ irgend eine Zahl, die & übertrifft. Es gibt dann nur höchstens endlich viele natürliche Zahlen », für welche (?) 5 ist. Bezeichnet man mit %, die größte unter diesen natürlichen Zahlen, oder die Zahl Null im Falle, daß die Bedingung (7) für keinen Wert von n stattfindet, so ist für n > n, stets a, < 8° und man hat daher.
nr Sh
Hieraus folgt aber nach (2)
| E<E und da &’ eine beliebige Zahl bedeutet, die & übertrifft: E<sau. Anderseits entnimmt man aus (2) und (5) E>o; und es muß daher, wie wir angekündigt hatten, =
sein. Genau ebenso beweist man, daß 7 = « ist.
Konvergente Zahlenfolgen.
‚96. Definition. Eine Zahlenfolge (1) RO FO RR | beißt konvergent, wenn ihre beiden Hauptlimites zusammen- fallen: SE lim a, = lim a,; der gemeinsame Wert dieser beiden Zahlen heißt der Grenz- wert der Folge (1) und wird mit
lım a, n=@
bezeichnet.
8 96 Konvergente Zahlenfolgen 89
Der Grenzwert einer Zahlenfolge kann sowohl endlich als auch un- endlich sein.*) Er ist z. B. dann und nur dann gleich + oo, wenn lim a, = + ©
Nn=o®
ist; wegen des Satzes 3 des $ 87 ist dann nämlich auch immer
lim a, = +.
Ist die Zahlenfolge (1) konvergent, und ist der Grenzwert
a«=lima, eine endliche Zahl, sa gibt es — wenn : eine beliebige positive Zahl bedeutet — nur endlich viele natürliche Zahlen », für welche
(2) a,>a+e oder a „<a—e ist. D.h. es gibt nur endlich viele natürliche Zahlen », für welche (3) | a, = «| >E
ist. Existiert umgekehrt eine endliche Zahl «, so daß für jedes belie- bige positive e nur endlich viele Elemente der Zahlenfolge (1) die Be- dingung (3) befriedigen, so konvergiert die Zahlenfolge gegen «. In der Tat ist, wenn man mit « und & die Hauptlimites unserer Folge be- zeichnet, für jedes positive & e<ae+te und a >a—: und daher «a<e a>u.
Diese beiden letzten Bedingungen in Verbindung mit & < « zeigen aber, daß
v=0=«4 ist.
Satz 3. Dafür, daß eine Zahlenfolge a,, Q,, ... gegen eine endliche Zahl « konvergiere, ist notwendig und hinreichend, daß bei beliebig vor- geschriebenem & > 0, nur höchstens endlich viele natürliche Zahlen n exi- stieren, für welche
a, —_ e| > € ist.
*, Gewöhnlich werden Zahlenfolgen mit unendlichem Grenzwert als diver- gent bezeichnet; die im Text benutzte Terminologie besitzt aber in Hinsicht auf unsere späteren Ziele große Vorteile, auf welche wir nicht verzichten wollen.
90 Kap. II. Der Grenzbegriff 8 97
97. Es sei (1) Gy, Ag, Ag, ... eine beliebige Folge von endlichen Zahlen. Wir setzen (2) b, = obere Grenze von {|a,,,—a,|, |a,,s—a,|, -- .}-
Ist der obere Limes & der Zahlenfolge (1) gleich + oo, und bezeichnet man mit & eine beliebige positive Zahl, so gibt es unendlich viele natür- liche Zahlen k, für welche, wenn die Zahl » gegeben ist, die Ungleichheit
a,>a,+5 gilt. Unter den Zahlen ja,,,—@,|, Q„4s— 4, ,... gibt es also auch mindestens eine, die größer als & ist und man folgert hieraus 6, >8 und daher auch, weil & eine beliebige positive Zahl bedeutet b,=+8.
Alle Elemente der Zahlenfolge b, sind dann gleich + oo und man findet ebenso, daB ebenfalls alle 5) —= + oo sind, wenn der untere Limes der Zahlenfolge (1) gleich — oo ist. Wenn aber weder @=-+ oo noch @ = — 00 ist, so müssen beide Zahlen « und @ endlich sein. Ist dann & eine be- liebige positive Zahl, so gibt es nur höchstens endlich viele natürliche Zahlen k, für welche a, außerhalb des Intervalls & — 5 <r<e+t :
liegt. Hieraus folgt erstens, daß man ein Intervall finden kann, in dem sämtliche Zahlen der Folge (1) liegen, woraus man entnimmt, daß die 5b, lauter endliche Zahlen sind, die alle unterhalb einer festen Schranke liegen. Zweitens aber folgt aus dieser selben Tatsache, daß man eine natürliche Zahl N finden kann, so daß für jede natürliche Zahl n > N die Bedingung
a-,<a,<at, stattfindet, und daß daher für jedes » > N und für jede natürliche Zahl » a,,,—0,|<@- 0) +. Die Definitionsgleichung (2) von b, zeigt dann, daß für jedes n > N b,<(e—-o)+e.
Es gibt also nur höchstens endlich viele b,, welche die Zahl («—«)+ & übertreffen, und man hat, wenn man mit ß den oberen Limes der Zah-
8 97 Konvergente Zahlenfolgen 91
lenfolge b,, b,, .... bezeichnet P<(@-e)+e. Die letzte Relation ist für jedes beliebige & > 0 erfüllt, und man hat daher _ (8) P<a-e. Anderseits hat man, wenn man mit ß, die untere Grenze und mit ß
den unteren Limes der Folge b,, b,, ... bezeichnet und wenn man be- rücksichtigt, daß kein b, negativ sein kann,
(4) <A <B<B.
Konvergiert nun die Zahlenfolge (1) gegen eine endliche Zahl «, so hat man
(d == und daher nach (3) und (4) (6) 0=-ß,=- ß . ß.
Die Zahlenfolge b,, b,, ... konvergiert also ebenfalls und zwar gegen Null und die untere Grenze ß, der Zahlen b, ist auch gleich Null. Es sei umgekehrt (7) Bo — 0; dann kann man, wenn & eine beliebige positive Zahl bedeutet, eine natür- liche Zahl r finden, für welche b,<-
ı=9
ist. Ist dann » eine beliebige natürliche Zahl, so ist nach (2) stets oder
Es gibt also nur höchstens endlich viele natürliche Zahlen %, nämlich die Zahlen des Abschnitts k < (a— 1) der natürlichen Zahlenreihe, für welche a, außerhalb des abgeschlossenen Intervalls
& & ,—- , SIeSa,+,z
2 viele a, übertrifft, und daß (a, +.) nur durch höchstens endlich viele
liegen kann, und hieraus folgt, daß (a, — 3) nur höchstens endlich
9 Kap. II. Der Grenzbegriff 8 98
a, übertroffen wird. Man kann daher schreiben, wenn man noch die Relation « < « berücksichtigt, und also auch
Da & beliebig ist, muß also « = « sein, d. h. die Folge (1) muB konver- gieren und es müssen also auch die Zahlen $ und ß gleich Null sein.
Satz 2. Esseia,,a,,.... eine Zahlenfolge mit den endlichen Haupt- limites « und «. Setst man für jede natürliche Zahl n
b„ = obere Grenze von {ja,,,—a,|, |a,,s—@,|,-- -},
so ist notwendig und hinreichend für die Konvergenz der Folge der a, daß die Folge der b, gegen Null konvergiere oder auch nur, daß die untere Grenze der b, gleich Null sei.
Drückt man die Bedingung, daß die untere Grenze ß, der Folge b,,d,,... verschwinden soll, explizite aus, so führt der letzte Teil des vorigen Satzes auf das Konvergenzkriterium von Cauchy.
Satz 3. Cauchys Konvergenzkriterium. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine Zahlenfolge a,, a,, ..... konvergent sei und einen endlichen Grrenzwert besitze, ist die, daß man zu jeder posi- tiven Zahl e mindestens eine natürliche Zahl N(e) zuordnen kann, so daß für jede natürliche Zahl p die Bedingung
lanıp—an<e
erfüllt ist. Man kann dann zu jeder positiven Zahl s eine Zahl N’ zu- ordnen, so daß für jede natürliche Zahl p und für jede natürliche Zahl n>N .
[n+2
u a, Ss € ist. 98. Ist a,,a,,... eine konvergente Folge von Zahlen und b,,b,,...
irgendeine ihrer unendlichen Teilfolgen, so gelten nach dem Satze 5 des $ 89 zwischen den Hauptlimites dieser Folgen die Beziehungen:
e<p<p<u und da hier e=«a= « ist, muß auch BP - ß=« sein:
Satz 4. Jede Teilfolge einer konvergenten Zahlenfolge ist konvergent und besitzt denselben Grenzwert.
8 98 Konvergente Zahlenfolgen 93
_—
Man kann einen Satz derselben Art auch für nicht konvergente Zahlenfolgen aufstellen:
Satz 5. Jede unendliche Zahlenfolge a,, Q,, . . . besitet Teilfolgen b,,ba,..., die gegen ihren oberen Limes « oder gegen ihren unteren Limes «& konvergieren.
Wir wollen z.B. b,, b,, ... so bestimmen, daß lImb,=« ist. Ist «= — 00, so ist die Folge der a, konvergent, und man kann
b, = a, setzen. Ist & eine endliche Zahl und p eine gegebene natürliche Zahl, so betrachten wir di6 Gesamtheit N, der natürlichen Zahlen », für die | a, >a— »
ist. Für jedes » ist dann N, eine unendliche Menge von Zahlen; wir setzen n, gleich der kleinsten natürlichen Zahl von N,, hierauf n, gleich der kleinsten Zahl von N,, die >n, ist, also n, gleich der kleinsten Zahl von N,— {n,}N, und allgemein n,,, gleich der kleinsten Zahl, die in
N,41 (N, N9,.- +5 N, Ny;1
vorkommt. Setzt man dann br = Any, (k=1,2,...)
so ist die Zahlenfolge d,, b,,... eine Teilfolge der gegebenen und für ihren oberen Limes ß gilt daher die Relation (a) | B<a. Anderseits ist für jede natürliche Zahl Ak > p
ee 1 = 1 u Pu
Es gibt also nur höchstens endlich viele Zahlen b,, b,, ..., die durch (« —_ —) übertroffen werden, und der untere Limes ß vr Zahlenfolge b,,d,,... genügt der Relation
B>a- Lu Da dieses für jede natürliche Zahl p stattfindet, so hat man
Ba und daher mit Berücksichtigung von (1) und von ß< <ß B=ß=e.
3
94 Kap. II. Der Grenzbegriff 899 |
Ist schließlich « = + oo, so ändere man den obigen Beweis dahin, daß man die Zahlenfolge
a 1 («-,) | (=1,2,...) durch die Folge der natürlichen Zahlen ersetzt.
Ein Korollar unseres letzten Satzes ist folgendes:
Satz 6. Wenn der obere Limes jeder unendlichen Teilfolge einer ge- gebenen Folge a,, Qy, ... immer gleich einer und derselben Zahl ist, so konvergiert die Folge der a,.
Wäre nämlich «<a, so könnte man zwei Teilfolgen von a,, a,,. finden, die bzw. gegen « und « konvergieren, more ‚obere Limites also voneinander verschieden sind.
99. Die Sätze 4—10 der $$ 88—95 erlauben das Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen zu begründen. Wir bedienen uns der folgenden bequemen Symbolik:
,.—.« soll bedeuten, daß die Folge a,, a,,.... konvergiert, und daß Iıma=« k=o ist. Wir entnehmen nun aus dem SNatze 6 des $ 89 folgendes Resultat: Satz 7. Ist für jedes k die Relation a, < b, erfüllt, so folgt aus
a.—>a und b,.—Bß, auch «<Pß.
Ferner liefert der Satz 4 des $ 88 unmittelbar das Ergebnis:
Satz 8. Ist für jedes k die Relation a,= — b, erfüllt, so folgt aus a,— ua auchb, > — a.
Eine direkte Folge des Satzes 7 des $ 91 ist ferner:
Satz 9. Sind a,,a,,... und b,,b,,.... zwei gegebene Zahlenfolgen, von denen die erste gegen « komvergiert, so gelten die Gleichungen
lim (a, + b,) = “+ß, lim (a, +b)=e«+Bß, solange die vorkommenden Summen ausführbar sind. Aus
a—>a und b,.—Pß
$ 100 Konvergente Zahlenfolgen 05 folgt dann insbesondere
EST AR ————n
(,+b)—>(e+P), falls diese Summen einen Sinn haben.
100. Bei der Übertragung des Satzes des $ 94 kann man sich von der Bestimmung, daß die vorkommenden Zahlen alle positiv sein müssen, befreien, und folgendes behaupten:
Satz 10. Sind die Folgen a,, as, -.- und b,, b,, ... konvergent, so folgt aus , > undb,— ß, daß auch
a,d, — aß, wenn diese Produkte einen Sinn haben.
Es seien zunächst die Grenzwerte « und ß beide positiv; dann gibt es nach Voraussetzung nur höchstens endlich viele a, und ebenso nur höchstens endlich viele b,, die negativ oder Null sind. Es gibt also eine Zahl N, so daß für jede natürliche Zahl » sowohl ay+,>0O als auch by+»> OÖ ist. Die Zahlenfolgen ay;ı, an+a,.. . und by+ı, dxv43; --- konvergieren als Teilfolgen der gegebenen Folgen gegen die Grenzen « und ß (8 98, Satz 4) und die Relationen des Satzes 9 in $ 94 liefern dann
lim UN+pON+p = aß.
p=o
Die Folge a,b,, ayb,, . ..., die sich von der Folge ay+ıdy+1, Qn+2dv+ 2: -- nur um endlich viele Elemente unterscheidet, hat dieselben Hauptlimites wie diese (8 89, Satz 5) und muß daher auch gegen «ß konvergieren.
Ist zweitens die eine der beiden Zahlen « und ß, z.B. die Zahl a, negativ, so setze man a, =—.a,. Dann ist nach dem Satz 8 des vorigen Paragraphen die Folge a,’,a,,... konvergent und
„—>—0; nach dem soeben bewiesenen Resultat ist dann a,b, ——aß, und, da für jedes % die Zahlen a,b, und a,b, entgegengesetzt sind, a,d, —> aß. Ähnlich sieht man die Richtigkeit unserer Behauptung ein, wenn beide Zahlen «@ und ß negativ sind.
Ist schließlich «= 0 und ß eine endliche Zahl, so ist die Folge b,,d,,... beschränkt, falls nicht einige b, unendlich sind. Es gibt
96 Kap. II. Der Grenzbegriff 8 101. 102
aber jedenfalls eine Zahl M und eine natürliche Zahl %,, so daß für jedsk>k, di<M
ist. Ist dann & eine beliebige positive Zahl, so gibt es, weil a, gegen Null konvergiert, nur höchstens endlich viele natürliche Zahlen k, für welche
1%; 2 ” ist; für alle anderen Werte von k ist aber dann ab|<e.
Es gibt also nur höchstens endlich viele Werte von %, für welche Ia,b,| > e ist, d.h.
ad, —d. Der angekündigte Satz ist also für alle Fälle bewiesen.
101. Endlich gilt noch der Satz:
Satz 11. Ist unter denselben Voraussetzungen wie im vorigen Satze jedes b, endlich und #0, B +0, und sind « und ß nicht beide oo, so ist die Folge
GG
bb’? konwergent, und es ist | I b; B
Es genügt den Satz für 6 > 0 zu beweisen, da man diese Voraus- setzung erzwingen kann, indem man mit Berücksichtigung des Satzes 8 (899) nötigenfalls jede der Zahlen a, und b, durch die entgegengesetzten Zahlen —a, und —b, ersetzt. Es sind dann höchstens nur endlich viele Zahlen b, nicht positiv und für die übrigen gilt nach dem 8 92
; 1 1 rn Diese Relation gilt aber dann ebenfalls, wenn wir die negativen b, hin-
zufügen, und der behauptete Satz reduziert sich nun auf eine einfache Anwendung des vorigen.
102. Eine Zahlenfolge a,, a,, Q,,... heißt monoton wachsend, wenn stets für jede natürliche Zahl %
(1) zz %
8 103 Konvergente Zahlenfolgen 97 ist, sie heißt monoton abnehmend, wenn für jedes % 4 S4 1st.
Satz 12. Eine monotone Zahlenfolge konvergiert stets. Ist sie wachsend, so konvergiert sie gegen ihre obere Grrenze, ist sie abnehmend, gegen ihre untere Grenze.
Wir wollen z. B. eine monoton wachsende Zahlenfolge betrachten und mit «, & und « ihre beiden Hauptlimites und ihre obere Grenze be- zeichnen. Wir haben dann mit den Bezeichnungen des $ 95 und, wenn wir die Bedingungen (1) berücksichtigen:
«&, = obere Grenze von {a,,a,,1,.::)=«, «&, = untere Grenze von {a,,Q,,1,:.-)=@,. Ferner haben wir nach dem Satze 10 desselben Paragraphen & = untere Grenze von (@,,%,...)=e«, & = obere Grenze von [a,',&,...)\=«.
Also ist, wie wir beweisen wollten, w=a=«. 103. Es sei s eine positive Zahl; wir wollen die Folgen unter- suchen, die dadurch entstehen, daß man a=s und ,,=5'q, setzt. Dann ist a, eine sogenannte Potenz von s und man schreibt
a,=s*. Ist s größer als Eins, etwa gleich (1+»), so ist die Folge der Potenzen s, s?,... monoton wachsend, denn es ist
stt!=(1+p)s’> st;
sie konvergiert also gegen ihre obere Grenze, von der wir zeigen wollen, daß sie gleich + oo ist. Dazu beweisen wir die Ungleichheit
- st>(1+%kp). Diese Relation ist in der Tat für %=]1. erfüllt, und wenn sie für ein beliebiges %k erfüllt ist, so ist sr = (1+pP)s>(1+p)(1+kp), und folglich stH1> 1 + (k+1)o+kp?>1+ Rp
Carath&sodory, Reelle Funktionen.
98 Kap. II. Der Grenzbegriff 8 104 Ist M eine beliebige Zahl, so kann man % so wählen, daß 1+kp>M
ist ($ 18); das entsprechende s* ist dann auch größer als M, und die obere Grenze aller s* ist also größer als jede beliebige Zahl und also gleich +00. Wir können also schreiben
t—+® (fürs>]). Ist dagegen s< 1, so setze man
Es ist dann
1 == SE y und, da #>1 ist, folgt nach dem Obigen
Ä 1 An ge:
also nach dem Satze 11 des $ 101 :—0 (0<s<1).
Endlich sieht man, daß die letzte Relation auch für negative s statt- findet, sobald |s|<1 ist, denn es ist allgemein
1’ = sit.
ft
Summen von positiven Zahlen. (1) Pır Pr, Pa» - --
eine Folge von lauter nicht negativen Zahlen. Ist
N, Nor
irgendeine Menge, die aus endlich vielen verschiedenen natürlichen Zahlen besteht, so nennt man die Summe
(2) DntPut + pm, eine Teilsummme der Folge (1). Definition. Wir definieren jetzt als Summe
(3) s -2p.
sämtlicher Zahlen der Folge (1) die obere Grenze aller mög- lichen Teilsummen (2).
8 105 Summen von positiven Zahlen 99
Diese Summe ist also stets eine nicht negative Zahl, die auch gleich + 00 sein kann. Um sie zu berechnen, genügt es, diejenigen ihrer Teil- summen zu betrachten, die den Abschnitten der natürlichen Zahlenreihe entsprechen. Es gilt der Satz: Satz 1. Setzt man = MtPpt + Du s= Ip, = lim s,. k
so ıst stets
In der Tat ist stets
und daher Im nF Parı
I... 2 8,: Die Folge ° -
er ist also monoton wachsend und konvergiert gegen ihre obere Grenze ($ 102, Satz 12), die wir mit 0 bezeichnen wollen: >‘. Nun ist nach unserer Definition der Zahl s= p, stets k | ss und daher ist auch die obere Grenze 6 der s,, nicht größer als s, (4) o<s. Ist anderseits s=p,tP.t ae + Dn,
eine beliebige Teilsumme, und bezeichnet man mit m die größte unter den endlich vielen Zahlen »,,...,n,, so enthält s,, jede der Zahlen, die in s’ vorkommen und (s_— s’) ist entweder gleich Null oder gleich einer Summe von endlich vielen nicht negativen Zahlen. Es ist daher
"<s, se | und, da 3’ eine beliebige Teilsumme von (1) bedeutet, muß auch (5) s<o sein. Aus (4) und (5) folgt endlich o=S,
wie wir beweisen wollten.
105. Der Hauptsatz über Summen von positiven Zahlen ist fol- gender: 7*
yBamizn
100 Kap. I. Der Grenzbegriff 8 106
Satz 2. Sind P,,.Ps,- . . endlich oder abzählbar unendlich viele nicht negative Zahlen und ist jedes P, die Summe von endlich oder absühlbar unendlich vielen nicht negativen Zahlen pr,
Ei - Ion, so ist die Summe der P., gleich der Summe der py: >37 = Pr x
Man setze
(1) 8 == P„ 6 = Pas;
wir wollen s und 6 vergleichen. . Wir betrachten eine beliebige Teilsumme der 9, ,
(2). = en Pın,’k' + DPm,' ky' + eh Pmmy’ky';
die erste dieser Zahlen wird zu einer Summe P,„, gehören; man streiche aus der Teilsumme (2) sämtliche p,, weg, die zu dieser Summe ge- hören. Die Summe der weggestrichenen Zahlen sei x,; es ist dann x, < Pm,. Die erste der übrigbleibenden Zahlen von (2) gehöre zu P,,; man streiche aus (2) nun auch sämtliche Zahlen, die zu P„, gehören, weg; ihre Summe sei x, und wir haben x, < P„,. Wenn man so fort- fährt, ist man nach höchstens j Schritten zu Ende und es folgt hieraus Pak t Dmsi t°°° + Dim; %; = 1 + ++, | SPmtPmt' + Pas <s.
Da die Teilsumme (2) beliebig war, ist für die obere Grenze 6 aller solchen Teilsummen | (3) 6<s. Es sei nun A eine beliebige positive Zahl, die kleiner als s ist, und u eine Zahl zwischen A und s:
A<u<s.
Die Zahlen A und u sind endliche Zahlen, selbst wenn s=-+ oo ist. Man kann nach dem vorigen Paragraphen eine natürliche Zahl r so finden, daß
(4) ,=-P+P+--+P,>u ist. Nun wähle man die natürlichen Zahlen kı,ka,-. .,A,, derart daß
8 106 | Konvergente Reihen 101
PıtPst"+9m,>Pı et, Pat Pat 4m, >B-8, a
| P,ı +P3+ nr + 2,1, > P,—
r
Die durch Addition dieser Ungleichheiten links entstehende Teilsumme der 9,, heiße ,; dann ist
c>2m>F+tP++P,+Q@-—u) und mit Berücksichtigung von (4) o>4A. Da die letzte Ungleichheit für jede Zahl A <s gilt, muß
und also, wegen (3), 6=S sein. | Dieses Resultat zeigt: man erhält die Summe von abzählbar un- endlich vielen nicht negativen Zahlen auch, wenn man die gegebene Menge in endlich oder abzählbar unendlich viele Teilmengen zerlegt, jede für sich summiert, und die erhaltenen Zahlen wieder addiert.
Konvergente Reihen.
106. Es sei (1) Gy, Ag, Ag, ..-
eine Folge von abzählbar unendlich vielen beliebigen reellen endlichen Zahlen. Wir bilden die Summen
(2) HB htartr ta
die aus den m ersten Zahlen der Folge (1) bestehen und betrachten die . Zahlenfolge |
(8) | S17 99, 95°
Definition. Konvergiert die en er Bagen einen
endlichen Grenzwert s. 8 ns,
102 Kap. I. Der Grenzbegriff 8 106
so sagt man, die Reihe
(4) tg tat:
konvergiert*), und besitzt die Summe s; man schreibt: s- +, +%+:--.
Die Reihe (4) konvergiert also dann und nur dann, wenn das Cauchysche Kriterium ($ 97, Satz 3) für die Folge s,,8&,... der Ab- schnitte der Reihe erfüllt ist. Nun ist aber
Sm+p Im Am+1 FAn4st + Am+p? so daß man das betreffende Kriterium folgendermaßen aussprechen kann: Satz 1. Dafür, daß eine Reihe auat+%+:-- komnvergiere, ist notwendig und hinreichend, daß man jeder positiven
Zahl e mindestens eine natürliche Zahl N zuordnen kann, so daß für jede natürliche Zahl p
(5) lanzı tan+2+' +anıp| Se
sei. Man kann dann stets jeder positiven Zahl e eine natürliche Zahl N’ zuordnen, so daß für jede natürliche Zahl p und jede natürliche Zahln> N’
(6) IQyy4ı ar Any! s € ist.
Aus dem zweiten Teil des vorigen Satzes folgt als Korollar, wenn man p=1 setzt:
Satz 2, Dafür, daß eine Reihe a, + a, +: - komvergiere, ist not- wendig, daß (7) lim a, = 0
ser.
”, Nach unserer früheren Terminologie ($ 96, Fußnote) müßten wir konse- quenterweise auch diejenigen Reihen konvergent nennen, für welche die Zahlen- folge (8) einen unendlichen Grenzwert besitzt; z. B. müßte dann die Reihe
1—-1+2? —-1+3—1+--- konvergent genannt werden. Dies würde aber nicht nur einer hundertjährigen Gewohnheit widersprechen, sondern auch an sich unzweckmäßig sein. Gelegent- lich werden diese Reiben eigentlich divergent genannt im Gegensatz zu den Reihen, wie 1—-1+1—1+---,
für welche s, keinen Grenzwert besitzt, und die uneigentlich divergent ge- nannt werden.
$ 107 Konvergente Reihen 103
Aus der Bedingung (7) folgt übrigens nicht, daß eine Reihe not- wendig konvergieren muß. Setzt man z.B.
ada=—. so ist zwar (7) erfüllt, aber es ist
a.41t "+ 0,,,|> =. a +...+ en (p mal genommen)
r7; ja Art -+%,>3-
Die Bedingung (6) kann also für keinen Wert von » erfüllt werden, wenn man
und daher fürrp=n
=;
3 nımmt.
107. Es sei q,, 9, --- eine Folge von positiven Zahlen, deren Summe endlich ist; ferner sei a,, @,,.... eine Folge von Zahlen, die
der Bedingung ml 4m genügen. Dann ist stets
(1) | 41 Teer Ar < Ianrıl zu + a er < Inzı re In+p'
Nun kann man, weil die Summe der g, endlich ist, jeder positiven Zahl & eine Zahl N zuordnen, so daß für jedes p
at + m, Ze ist. Es ist dann auch nach (1) für jedes p larrı+ tan Se, „ta+r--
d.h. die Reihe
ist konvergent.
Definition. Eine Reihe ,a+@+--- heißt absolut konver- gent, wenn man eine Folge von nicht negativen Zahlen q,,9, --- finden kann, deren Summe endlich ist, und für welche
(2) la.|sq. (m=1,2,...) stattfindet |
104 Kap. II. Der Grenzbegriff 8 108 Aus (2) folgt: wenn die Reihe a, + a, + absolut konvergiert,
so muß die Summe der nicht negativen Zahlen
(8) || (m=1, 2, 3...)
endlich sein; denn keine Teilsumme der Folge (3) ist größer als die
Summe der q,„. Ist umgekehrt die Summe der Zahlen (3) endlich, so konvergiert die gegebene Reihe absolut:
Satz 3. Für die absolute Konvergenz einer Reihe Q, + Ag +...» ist notwendig und hinreichend, daß die Summe
lan! endlich sei.
Wir betrachten noch folgendes Beispiel. Es sei a eine beliebige Zahl, die der Bedingung | al<]l genügt. Die Reihe (1) l+a+ta?+a’+--- konvergiert, Denn es ist
tar sr Tl ta
und daher _ 1l—a Sm — 1-—a?’ woraus folgt ($ 103) >; = _.
Die Reihe (1) konvergiert aber absolut, weil die Summe I+lalt ja tlarit
1 1— la
den endlichen Wert
besitzt.
108. Um zu zeigen, daß es konvergente Reihen gibt, deren Summe endlich ist. und die nicht absolut konvergieren, Dre wir eine monoton abnehmende Zahlenfolge Ä
(2) 2 >y>,>.--, die gegen Null konvergiert (8) 0,
8109 Konvergente Reihen 105
und hierauf die Reihe. (4) +. — at...
Die Teilsummen s,,, dieser Reihe mit geradem Index bilden eine mono- ton wachsende Zahlenfolge, denn es ist
an SGgm+3 — Gm Mmrı Mmr3 > 0- Ferner ist gm 4) ln) <M,
und hieraus folgt, daß die obere Grenze dieser Zahlen die Zahl a, nicht übertrifft und daher endlich ist. Die Grenze Ä
s = lim s,,,
M=®
ist also endlich. Ganz analog beweist man die Existenz einer endlichen Grenze s’ für die Teilsummen mit ungeradem Index
s’= lim 5, ,;ı- Endlich sieht man, daß - s— s-lim (,,,1— 53m) — lim 9 „,1= 0
ist, woraus die Konvergenz der Reihe (4) leicht folgt. Setzt man nun
so sind die Bedingungen (2) und (3) erfüllt, und daher die Reihe
Bee} SEE Eu: Vre © 1 2 3 4
konvergent. Diese Reihe ist aber nicht absolut konvergent, weil die Summe
ist ($ 106).
l+4 +44. =+0@
109. Es sei (1) s-e4ur%Tr° eine konvergente Reihe und A eine beliebige endliche Zahl. Wir setzen (2) b,= ka, (n=1,2,3,...) und betrachten die Reihe (3) ++.
Es folgt dann mit den Bezeichnungen Hut t, mebti +6,
106 Kap. ll. Der Grenzbegriff 8 109 aus der Gleichung
in = 15m daß die Zahlenfolge 4, t,, ... konvergiert und daß
limit, =Alims,,
ist ($ 100, Satz 10). Die Reihe (3) ist also ebenfalls konvergent und ihre Summe gleich dem Produkte von A mit der Summe von (1). Ist die Reihe (1) absolut konvergent, so ist die Summe der positiven Zahlen B.1-12lla,, (m=1,2,...) endlich, woraus die absolute Konvergenz der Reihe (3) folgt. Satz 4. Ist
(4) =4,tr%+t°'
eine konvergente Reihe und 1 eine beliebige endliche Zahl und setzt man b,= Aa,» (n=1,2,3,...)
so ist die Reihe
(5) t=b+rb+t..:
konvergent und man hat t=4-S, Ist die Reihe (4) absolut komvergent, so gilt dasselbe von der Reihe (5). Wir beweisen ferner den Satz: Satz 5. Sind (6) s=,+%+:--- und t=b+b+--- zwei konvergente Reihen von Zahlen, so ist die Reihe 2) r-(+)+ +) +,
die man durch gliedweise Addition erhält, ebenfalls konvergent, und stellt die Zahl (s+t) dar. Sind die beiden Reihen (6) absolut konvergent, so gilt dasselbe von der Reihe (7).
Setzt man in der Tat u ar en u ebt tb
. an tb)t tl tn):
so Ist u EA und daher die Folge »,, r,,.... konvergent ($ 99, Satz 9); außerdem gilt dann die Gleichung | imr =lims, +tlimti, =s+t.
Nn=n M=0
8 110 Konvergente Reihen 107
Den letzten Teil des zu beweisenden Satzes entnimmt man aus der Relation + dn| s I, + dm|- Ein ganz analoger Satz gilt über die gliedweise Subtraktion von zwei konvergenten Reihen. |
110. Es sei (1) s=u,u+%+:-- eine absolut konvergente Reihe und man setze (2) 2. tan, qm.
Die Zahlen p,, und g, genügen den Bedingungen (3) s sp Ss am, 0<mSs LIRP (4) Pm Im” Am»
und hieraus folgt, daß man die Reihe (1) durch gliedweise Subtraktion von zwei Reihen mit nichtnegativen Gliedern
(5) P=AtPpt; (6) g=-,trart'
erhalten kann, die beide eine endliche Summe besitzen. Wir haben also s=9—g; nun bemerke man, daß nach (2) die Zahlen », gleich a,, oder gleich Null sind, je nachdem «,, positiv ist oder nicht. Die Reihe (5) ist also gleich der Summe der positiven Glieder der Reihe (1), falls es solche gibt und gleich Null im entgegengesetzten Fall; und ebenso sieht man, daß (6) gleich der Summe der absoluten Beträge der negativen Glieder von (1) ist, falls es solche gibt und gleich Null im entgegen- gesetzten Fall.
Da auch umgekehrt die Reihe (1) absolut konvergiert, wenn p und q endlich sind, haben wir den Satz:
Satz 6. Für die absolute Konvergeng einer Reihe s=a4,+%+:-:
ist notwendig und hinreichend, daß die Summe p ihrer positiven Glieder und die Summe — q ihrer negativen Glieder beide endlich seien. Es ist dann stets
s=P9—4.
108 Kap. II. Der Grenzbegriff 8 111 111. Es seien |
I, ya Yusy + -
(1) Qgy, Oggy, Agsı - - -
abzählbar unendlich viele Folgen von Zahlen. Die Gesamtheit der Zahlen @,.„ ist abzählbar ($ 42). Wir nehmen nun an, daß die Summe der ab- zählbar unendlich vielen nicht negativen Zahlen 'a,_,| endlich ist. Dann ist, wenn
(2) bi, Da, bay... -
eine Folge bedeutet, die durch Umordnung der Zahlen (1) in eine ein- fache Folge entsteht, die Reihe
s=b,+b+b,+---
absolut konvergent, ebenso wie auch jede der Reihen
(3) Sm Amı Ft Ama Ft ms tt (m=1,2,3,...). '_ Wir setzen b b b,\—b PR ul = Mid, Pan en Anz! t, An ! Inn = An! ma
und Benaiten daß die Summen P=-2m 09-2 Pa= Pan Om = Imn lauter endliche Zahlen bedeuten, die den Gleichungen s=P-Q, = Pa- In gentigen, Ferner ist nach dem Satze 2 des $ 105 P=P,+PR,+P+---
= tra +9 tt: und daher, weil P und Q endliche Zahlen sind ($ 109)
2% P-Q=(P -Q)+(R-Q9)+: 2 oder (4) s=s +8, +58 +°..
$ 112 Konvergente Reihen 109
Man zeigt ebenso, daB wenn man